ab
∵sin A＝，sin B＝，
cc∴c＝∴
a
b，c＝， sin Asin Ba
b＝. sin Asin B
bc，，之间的关系，并写出探究sin Asin Bsin Ca
根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究过程．
图1 图2
【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，过点B作BE⊥AC，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证． 【自主解答】
4．(2018·山西中考)综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连结DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连结AM.试判断线段AM与DE的位置关系．
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探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB. ∵AD＝2AB，∴AD＝AE.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴
EMEB
＝.(依据1) DMAB
EM
∵BE＝AB，∴＝1.∴EM＝DM.
DM即AM是△ADE的DE边上的中线， 又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依据2) ∴AM垂直平分DE. 反思交流：
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连结CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现：
(3)如图3，连结CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
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参考答案
类型一
【例1】 当DG＝13，CG＝213时，满足DG＋CG＝CD，此时HG＝13，可得正方形EFGH的面积为13. 2
2
2
当DG＝8，CG＝1时，满足DG2
＋CG2
＝CD2
，此时HG＝7，可得正方形EFGH的面积为49. 当DG＝7，CG＝4时，此时HG＝3，四边形EFGH的面积为9.故答案为9，13和49. 变式训练
1．解：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3， ①当AB2
＝BC·AC时，得4＝3AC，解得AC＝43；
②当BC2
＝AB·AC时，得9＝2AC，解得AC＝92
；
③当AC2
＝AB·BC时，得AC2＝6，解得AC＝6(负值舍去)， ∴当AC＝43或9
2或6时，△ABC是比例三角形．
(2)∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD. 又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA， ∴
BCCA＝CAAD
，即CA2
＝BC·AD. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD， ∴CA2
＝BC·AB， ∴△ABC是比例三角形．
(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.
∵AB＝AD，∴BH＝1
2
BD. ∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°， ∴∠BHA＝∠BCD＝90°. 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴
ABBH
DB＝BC
，即AB·BC＝BH·DB，
8
∴AB·BC＝12
2BD.
又∵AB·BC＝AC2
， ∴122BD＝AC2
，∴BDAC＝2. 类型二
【例2】 (1)d＝|3×0－4×0－5|32＋42
＝1. (2)2＝|1×1＋1×0＋C|
2，∴|C＋1|＝2，
∴C＋1＝±2，∴C1＝－3，C2＝1. 变式训练
2
2．解：(1)y2（x＋3）＋99
y＝x＋3＝(x＋3)＋x＋3，
1∴当x＋3＝9y2
x＋3时，y有最小值，
1∴x＝0或－6(舍弃)时，有最小值6.
(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元， 490＋200x2则w＝＋0.001x
x
＝
490
x
＋0.001x＋200， ∴当490
x
＝0.001x时，w有最小值，
∴x＝700或－700(舍弃)时，w有最小值，最小值为201.4元． 类型三
【例3】 (1)MG＝NG MG⊥NG 如图，连结BE，CD相交于H.
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB(SAS)， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
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∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE. ∵点M，G分别是BD，BC的中点， 11
∴MG綊CD.同理NG綊BE，
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∴MG＝NG，MG⊥NG，∴MG＝NG，MG⊥NG.
(2)连结CD，BE相交于点H，同(1)的方法得MG＝NG，MG⊥NG. (3)如图，连结EB，DC，延长线相交于H，
同(1)的方法得MG＝NG， 同(1)的方法得△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD，
∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°， ∴∠DHE＝90°， 同(1)的方法得MG⊥NG， ∴△GMN是等腰直角三角形． 变式训练
3．解：问题背景：证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. 由题意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°， ∴∠EBD＝∠FBD＝30°. ∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°， ∴△BEF为等边三角形． 迁移应用：PC＝PA＋PB.
证明：如图，在PC上截取PG＝PB，连结BG.
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浙江省中考数学专题复习专题五阅读理解型问题训练
