2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2

第2课时 函数奇偶性的应用

必备知识基础练 知识点一 利用奇偶性求函数解析式 1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________. 知识点二 函数奇偶性与单调性 3.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是( ) A．f(5)>f(－5) B．f(4)>f(3) C．f(－2)>f(2) D．f(－8)＝f(8) ?1?4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

- 4 -

4．若函数f(x)＝ax＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 5．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( ) A．a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3 6．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( ) A．f(－π)＞f(3)＞f(－2) B．f(－π)＞f(－2)＞f(3) C．f(3)＞f(－2)＞f(－π) D．f(3)＞f(－π)＞f(－2) 二、填空题 7．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________． 2 8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________． px2＋259．(探究题)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)q－3x3＝________. 三、解答题 210．(易错题)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． 学科素养升级练 21．(多选题)已知函数f(x)＝x－2x－3，则下列结论正确的是( ) A．函数f(x)的最小值为－4 B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．函数f(|x|)为偶函数 D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)0. a＋b (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． - 4 -

第2课时 函数奇偶性的应用

必备知识基础练

1．解析：设x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数． ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴f(x)＝－x－1(x<0)． 答案：B

2．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1. 答案：－x＋1

3．解析：∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.

答案：C

?1?4．解析：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)

1112即－<2x－1<，解得

5．解析：因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.

答案：C

6．解析：∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)． 又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(|x－1|)＞f(2)，

∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3， ∴x∈(－1,3)． 答案：(－1,3)

- 4 -

关键能力综合练

1．解析：A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.

答案：D

2

2．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f(x)≤0. 答案：C

2

3．解析：由x≥0时，f(x)＝x－2x， f(x)是定义在R上的奇函数得，

2

当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x＋2x)＝x(－x－2)．

?xx－2，x≥0，?

∴f(x)＝?即f(x)＝x(|x|－2)．

?x－x－2，x<0，?

答案：D

2

4．解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．

答案：A

5．解析：∵f(x)在R上为奇函数，

∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)． 又f(x)在R上单调递减， ∴2－a>a－4，得a<3. 答案：B

6．解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，

∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)． 答案：A

7．解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．

答案：[－6，－3)∪(0,3) 8.

解析：由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.

答案：{x|x<－3或x>3}

????9．解析：f(x)的定义域为?－∞，?∪?，＋∞?，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.

3??33??

22

px2＋25p×4＋252x＋22x＋2

故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－. －3x3－63－3x3x2

2x＋2

答案：－

3x2

10．解析：由f(1－a)＋f(1－a)<0，

2

得f(1－a)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，

2

∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a)

- 4 -

qqq

又f(x)在[－1,1]上单调递减， －1≤1－a≤1，??

∴?－1≤1－a≤1，??1－a2>a－1，

2

0≤a≤2，??

解得?0≤a≤2，

??－2

2

∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)． 学科素养升级练

1.

解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故选项A正确；二次函数f(x)的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故选项B错误；由f(x)得，f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故选项C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－2

1|－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a 的交点，作出h(x)图象如图所示：图象关于x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选项D正确．故选ACD.

答案：ACD

2．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)

答案：1 (0,2)

3．解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，

fa＋f－b由题意得>0，

a－b所以f(a)＋f(－b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－b)＝－f(b)，

所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．

(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，

因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)， 即f(1＋m)≥f(2m－3)，

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(－∞，4]．

- 4 -