2024年陕西省培养单位水土保持与生态环境研究中心603高等数学（丙）考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编
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x?abcd1． 计算行列式
aaax?bbbcx?ccddx?d。
【答案】
x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbbb1x?b11?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bcxd00x?(x?a?b?c?d)x30x0
?(x?a?b?c?d)?(x?a?b?c?d)00000
2． 设向量?1【答案】因为
?(1,?1,1),?2?(1,1,1),?3?(0,0,1)，证明向量组?1,?2,?3是R3空间中的一个基. 110110?110?020?2?0，所以?1,?2,?3线性无关（方法多样），所以向量组111001?1,?2,?3是R3空间中的一个基.
A??1，3． 若A是n阶方阵，且AA??I，证明A?I?0。其中I为单位矩阵。
【答案】A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?青岛掌?心博阅电子书
??∴2?I?A??0，∵?I?A??0
?x1?2x2?2x3?3x4?0?4． 求线性方程组?2x1?3x2?x3?2x4?0的基础解系，并用基础解系表示其通解.
?x?3x?5x?7x?0234?1【答案】对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：
?12?23??12?23??12?23?A??23?12???0?13?4???01?34?
???????13?57??01?34??0000???????第 3 页，共 39 页
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?104?5????01?34? ??0000???与原方程组同解的方程组为：??x1??4x3?5x4x，其中x3,x4为自由未知量.
?2?3x3?4x4??4??令??x3??分别取??1??,??0???得基础解系：v1????5?3??4??x,v2???. 4??0??1???1??0????0??1?????4??5?方程组的通解为：cv3???41v1?c22?c1??????c2?.（c1,c2为任意常数） ?1???0???0??1??
?1??1??5． 设R3的基为??????1??1??1?，?2??1?，?3??0?。青岛掌?心博?阅Ы电子书
??1????0????0??（1）试由?1，?2，?3构造R3的一个标准正交基?1，?2，?3； （2）求由基?1，?2，?3到?1，?2，?3的过渡矩阵P； （3）已知向量???1??2??3，求向量?在基?1，?2，?3下的坐标。 【答案】（1）?1??1??3?,?1??1??1???1??1??12??1?,?3??1?，
??1??6???2??2??0???322（2）P?(??11?22?1,?2,?3)(?1,?2,?3)?6??021?? ??00?3????（3）???3??2?6?31???1??2??3 ?1??362?1??0注：本题答案不唯一，如????0??，??????0?????111??1?2??1?，?3??0?，则P?110?，
?0????0????1????100????3?1?2?2??3
6． 设向量组
?T1?(1,1,2,3)，?2?(1,?1,1,1)T，?3?(1,3,3,5)T，?4?(4,?2,5,6)T?5?(?3,?1,?5,?7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 【答案】对向量组?1,?2,?3,?4,?5作如下的初等行变换可得：
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?1114?3??1114?3?????1?13?2?10?22?62???? (?1,?2,?3,?4,?5)???2135?5??0?11?31????3156?7????????0?22?62??1114?3??1021?2?????01?13?101?13?1????青岛掌?心博阅电子书 ???00000??00000????00000????????00000?从而?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组为?1,?2，故秩{?1,?2,?3,?4,?5}＝2
且?3?2?1??2，?4??1?3?2，?5??2?1??2
?1?10?01?17． 设B???001?000??12?01C?B???00??00【答案】
??C?B??'?10??2134???0213?0??且矩阵?满足关系式X(C?B)',C???1??0021??0002?1????34??1000??2100?23?'?，?(C?B)???3210?12????01?4321??000?0?1?1??21???2100?1'?，X?E?C?B??????1?210??1?2???01?211???0?E,求?。
001?2??0?0??0??1?
228． 设实二次型f(x1，x2，x3)?2x12?5x2?4x1x2?5x3?4x1x3?8x2x3，求：正交变换x?Qy，将f化为标准型。青岛掌а心博阅电子书
????【答案】Q??????
25015?2355354351???3?2?22??；f?y12?y2?10y3。 3?2?3???0?22???9． 设矩阵A=??2?34?的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
??4?3??2【答案】A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
?25/5??25/15??????5/545/15?，η2=??. ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=??0??5/3??????1??1/3?????λ=-8的一个特征向量为ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2???2/3?第 5 页，共 39 页
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