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第二章 轴向拉伸和压缩
2-1 一圆截面直杆，其直径d＝20mm, 长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重γ＝80kN/m3, 杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN，试求此杆的：
⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；
⑷下端处横截面的位移?。
BB5004.8N+xA4000NAFLF题 2 - 1 图
解：首先作直杆的轴力图
⑴最大的轴向拉力为FN,max??V?F??故最大正应力为：?max=?d2L?F?80?103??0.022?40?4000?5004.8N 444FN,max?FN,maxA?FN,max?d24??d2?4?5004.8?15.94MPa
3.14?0.022⑵最大线应变为:?max15.94?106???0.797?10?4 9E200?10?max⑶当?（?为杆内斜截面与横截面的夹角）为45?时，????max?⑷取A点为x轴起点，FN??Vx?F??故下端处横截面的位移为：???max2?7.97MPa
?d24x?F?(25.12x?4000)N
400?L0L25.12x?4000FN1dx??dx??(12.56x2?4000x)0EAEAEA?2.87mm
2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。已知杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为?。
BLBAA题 2-2 图x解：距离A为x处的轴力为
FN(x)?Ax?? 所以总伸长 ?L?
?L0LAx?FN(x)?L2 dx??dx?0EAEA2E2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P及其方位角θ的大小。
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B12C30°30°AF题 2 - 3 图解: 由胡克定律得
?1??1?E?200?109?4?10?4?800?105Pa
?2??2?E?200?109?2?10?4?400?105Pa
相应杆上的轴力为
N1??1gA N2??2gA
5?6 N1?800?10?200?10?16KN
N1?1N1?8KN 2取A节点为研究对象，由力的平衡方程得
?sin30o?N2gsin30o?Pgsin??N1g?oo??N1gcos30?N2gcos30?Pgcos? 解上述方程组得
???10.89o ??P?21.17KN2-4 图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1＝F2＝F，已知杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为ε＝cσn，其中c、n为由试验测定的常数。
(1) 试计算杆的总伸长；
(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？ (3) 当n＝1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？
F1aF（a）F2aFFN图+F（b）FN图（c）FN图+F+题 2 - 4 图
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解：（１）轴力图如图（a）所示。
?l?1?l12nFn2Fn根据??c?： ??c() ?l1?acn
laAAn?l?2?l2FnFn ??c() ?l2?acn
laAA(2n?1)acFn则 ?l??l1??l2?
An（２）采用叠加法。
?l1FnFn单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。 ?c() ?l1?acn
aAA?l2FnFn单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。 ?c() ?l2?2acn
2aAA3acFn则 ?l?
An（３）当n=1时，上述两解答相同。结论：只有当?与?成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。
2-5 试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA。
B45°DFBCFCDCCFΔlCD(a)F(b)C'(c)
题 2 - 5 图解： 取C点分析受力情况，如图（b）所示，得FCD?F,FBC?0 因此只有CD杆有伸长 lCD?FL EA变形几何图如图（c）所示 ，得?x??y?FL 。 EA2-6 刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E＝210GPa，绳横截面面积A＝100mm2，荷载F＝20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。
PAGBF5m3m(a)1mHCD2m解：首先要求绳的内力T。刚性梁ABCD的受力分析如图
(b)，
由平衡方程：
?MA?0
解得： T?80KN 7TT绳的原长 L?2?4?2?8m 绳的伸长量为
F(b)80?103?8TL7?L???4.35?10?3m 在F作9?6EA210?10?100?10用下结构变形如图(c)， 可得：
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(c)题 2 - 6 图.
?LB??LD??L?4.35?10?3m (1)
再由三角几何关系得：
?LBAB5?? (2) ?LDAD9由 (1)、(2)式联立可得：
?LB?1.55?10?3m
又因为：
?LBAB5?? ?LCAC8所以，?LC?2.49?10?3m?2.49mm
2-7 图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d2＝25mm，E2=100GPa，试求：
(1) 外力F作用在何处(x＝？)时AB梁保持水平？
(2) 如此时F＝30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？ 解：(1). 容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为
C1.5mFN1?F?2?x2,FN2?F?x2
DxPB2m
1m从而AC杆、BD杆的伸长量
A?l1?
FN1l1E1A1FN2l2E2A2??4Fl11?E1d12??4Fl1?l?x??E1d1l4Fl2x2?l2?4FN2l2
题 2 - 7 图?E2d22?E2d2l2若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即?l1??l2.
于是,
4Fl1?l?x??E1d1l2?4Fl2x?E2d2l22.
?x?l1E2d2ll1E2d2?l2E1d122?1.5?100?10?0.025?292921.5?100?10?0.025?1?200?10?0.020
92?1.08m(2).当F?30kN,x?1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为
?1?
FN1A1F??2?x22?d14x?2?30?103?2?1.08?23.14?0.02?44MPa
2?2?30?10?1.08?33MPa?2??22?d2A23.14?0.0254精选文档
FN2F?3.
2-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F＝20 kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A＝500mm2，L＝1m，试求：
(1) AC之间的相对位移△AC，
(2) 若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移△BD又如何？ FA解：(1)取A节点为研究对象，受力分析如图(b)
B由平衡方程：
?FAX?0,Fcos45??FAB?0
D(a)CF?FAY?0,Fsin45??FAD?0
得FAB?FAD?同理，可得：
2F?102kN 2AFCD?FCB?102kN B节点受力分析如图(c)
(b)?FBX?0，FBD??FAB??20kN
cos45?AB,BC,CD,DA四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应 变能相同，
可求得整个杆件应变能为：
(c)FAB22FBD2L???4???6.82J
2EA2EAFBA力F作的功为： W?1F?AC 2由弹性体的功能原理得： W???
DF(d)C1F?AC?6.82 2?AC?6.82?2?0.682mm
20?103题 2 - 8 图?2?当两力F移至B.D两点时，可知，只有BD杆受力，轴力为F
12F2L所以 F?BD????
22EA从而 ?BD2FL2?20?103???0.283mm
EA200?109?500?10?62-9 图示结构，已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2, E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。
D2mEDFND30°yFNE30°E30°30°A2m3mC3mBF=10kNAFNABCBF=10kNBOx题 2 - 9 图
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