一、选择题
1．下列数列极限存在的有（ ） 3254A．10，10，10，…
B．2,3,4,5,? ?nn为奇数?C.f?n?????1?nD.．f?n???n
??1?1nn为奇数
??1?nn为偶数????1?nn为偶数2．下列数列收敛的有（ ） A.0.9,0.99,0.999,0.9999,…
B．1,12,1?12,13,1?113,4,?
?n为奇数C.f?n????1?n?nn?1 D.f?n???2n?1??2n
?2n?1??2nn为偶数3．下列数收敛于0有（ ） A．1112，0,4,0,8,0,? B．1,11111113,2,5,3,7,4,9,?
?1n为奇数C.f?n????1?n?1n
D.f?n?????n
?1??n?1n为偶数4．数列xn与yn的极限分别为A与B，A≠B，则数列x1,y1,x2,y2,x3,y3,?的极限为（A．A
B．B
C．A+B
D．不存在
5．如果数列?xn?收敛,?yn?发散,则?xn?yn?()
A．可能收敛 B．一定收敛
C．可能发散 D．一定发散
6．函数f?x?在x0有定义是limx?xf?x?存在的()
0A．充要条件 B．充分条件 C．必要条件
D．无关条件
7．下列极限存在的有（ ）
A．limx(x?1)2 B．lim1x??xx?02x?1 12C．limxx?0e
D．limx?1x???x 8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（ ）
）
A．2?x?1?x?0?
sinx?x?0? B．xx2?1?D．?3?sin??x?0? x?1?x?C．x2x?2x?13?x????
9．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（ ）
A．x2x?13?x????
B．lgxx?0?
?1x??C．lgx?x????
D.ex?a?x?0?
?10．当x?a时,f?x?是(Ａ．任意函数
),则必有lim?x?a?f?x??0.(C．有界函数
) D无穷大量
B．无穷小量
11．下列极限正确的是（ ）
A．lime??
x?01xB．lime?0 ?x?01xC．lime??? ?x?01xD．lime?1
x??1x12．若limf?x???,lim?x???,则必有
x?ax?aA．lim?f?x??g?x????
x?aB．lim?f?x??g?x???0
x?aC．limx?a1?0
f?x??g?x?D．limkf?x????k为非零常数?
x?asinx2?113．lim的值为(x?1x?1??)
A．1 B．0 C．2
1D． 2)
14．f?x?在点x?x0处有定义,是f?x?在x?x0处连续的(Ａ．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D．无关的条件
15．当|x|?1时,y?1?x2A．连续函数 C．有最大值与最小值
二、辨析题
()
B．是有界函数 D．有最大值无最小值
1．如果n无限增大时，数列?an?越来越接近常数A，那么an是否一定收敛于A？ 2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列?an?的无穷多个点，那么?an?是否
一定收敛于A？
3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？ 4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？
?a?、an?bn?和?n?是否一定发散？ 5．如果数列?an?和?bn?都发散，问?an?bn???bn?、anbn?的收敛与发散情况能否确定？ 6．如果?an?收敛、?bn?发散，问?an?bn??7．设x1?1,xn?1?1?2xn?n?1,2,??，在求limxn时，有人求解如下：设limxn?A,对等式
n??n??xn?1?1?2xn，两边取极限，得A=1+2A，于是A=-1所以limxn??1．有人指出，这个结果是
n??错误的．因为xn?1?n?1,2,??，故limxn??1不可能的．请判断此题解法是否正确．若不正确，
n??请指出错在哪里？
8．若limf?x??g?x??0,且当x??时，g(x)有界，则limf?x??0，这一结论正确吗？为什
x??x??么？
三、计算题
x2＋２1．limx?２x?32?x?h??x24．limh?0hx2?2x?52．limx??1x2?1?x2?1??5．lim?x???2x2?x?2???x2?2x?13．limx?1x2?1x2?x6．lim4x??x?3x2?1
8x3?17．lim21x?6x?5x?12x2?6x?88．lim2x?4x?5x?411．lim1??1??9.lim?1???2?2?x??x??x??1?2?3????n?1?n??n2x214．limx??2x?1arctanxx??xsin2x20．limx?0sin5x2x?01??1110．lim?1?????n?x??2??24?n?1??n?2??n?3?12．limx??5n315．lim2x3?x?1x??
3??113．lim??3?x?11?x1?x??17．lim??16．limx2?sin18．limsinωxx?0xx?021．lim?cotxet?124．limt??2t1x?0xtan3x19．limx?0x1?cos2x22．limx?0xsinxπx?423． limx?2x?526．limln?2cos2x?πx?6
25．lim?sin2x?3
sin2x27．limππ?x?x?2cos?4x?1?128．limx?0x31．lim2229．limx?0?x21?1?x2
30．limx?15x?4?xx?11x32．limex??3?x?x?x?x?33．lim?n?n?1?n??n?3?x???42n??34．limx??x?sinxx?1??35．lim?x?x?x?x?x?????
四、证明题
1．根据数列极限的定义证明．
1(1)lim2?0n??n(4)lim0.?9999?1?????n??n个3n?13(2)lim?n??2n?12(5)lim1?x1?x??2x323(3)limn??n2?a2?1?a为常数?n
2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．
3．根据极限定义证明：当x?x0时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。
?1?11??1. 4．证明:lim???????222x??n?2n?n??n?1
参考答案 一、选择题
1．A，B，D 2．A，D 3．A，B，C，D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．A，D 9．A，B，C，D 10．B，C 11．B，C，D 12．D 13．C 14．A 15．A，B，D
二、辨析题
1．?an?不一定收敛于A，问题主要发生在只说?an?越来越接近常数A，并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与A构成收敛的
1关系，只有当说?an?越来越无限接近常数A时，才表明?an?是收敛于A的．例如取an?，A=-1，
n11随着n无限增加，越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于的差异，-1并不能说成是当
n21n→∞时的极限．
n2．?an?不一定收敛于A．因为极限定义中要求对于A的无论怎样小的ε邻域，都存在正整数N?，当n>N时，an将全部落入A的该ε邻域内．这里只说有无穷多个an中的点落入该邻域尚不能保证an中当n>N后的全部的点均落入该邻域．例如an?1???1?n?,A?0,则零的无论怎样小的ε邻域内都密集着?an?的无穷多个点，但?an?却是发散点．
3．有界数列不一定收敛．例如an???1??1，它为有界数列，但它却是发散的．
n??1n无界数列是一定发散的．因为如果它是收敛的，根据收敛的必要数列条件，它必须是有界的．
4．单调数列不一定收敛．例如取an?n，该数列是单调递增的，但它是无界数列，因此一定是发散的．
摆动数列不一定是发散的．例如取annn??1??n是摆动数列，但它收敛于零．
n?15．均不一定发散．例如当an???1?,bn???1?an?bn,时，an?bn?0，它是收敛的，并且
ann也是收敛的．当an?bn???1?时，an?bn?0，它是收敛的． bn6．?an?bn?是一定发散的．因为如果an?bn收敛，而bn??an?bn??an，则?bn?为两个收敛列的差，亦应收敛，这与假设矛盾；又因?bn?发散，因此??bn?也发散，而
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