第8讲 二项分布与正态分布
一、选择题
1.(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝0.6
0.75＝0.8. 答案 A
2.(2017·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) 1A.8
3 B.8
5 C.8
7D.8 P（AB）P（A）
＝
?1?31
解析 三次均反面朝上的概率是?2?＝8，所以至少一次正面朝上的概率是1
??17－8＝8. 答案 D
3.(2016·青岛一模)设随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点的概率为( ) 1A.4
1B.3
1 C.2
2 D.3 解析 ∵函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点，∴Δ＝4－4X<0，∴X>1，∵X～N(1，
σ2)，∴P(X>1)＝2，故选C. 答案 C
4.(2017·武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A
1
1
和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为8和p，若在任意时刻恰有一个系9
统不发生故障的概率为40，则p＝( ) 1A.10
2B.15
1C.6
1D.5 1?192?
解析 由题意得8(1－p)＋?1－8?p＝40，∴p＝15，故选B.
??答案 B
5.(2016·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于( ) ?
A.C1012??C.C911?
3?10?5?2
??? ?8??8?
?B.C912?
3?9?5?23
??? ?8??8?83?10?5?2??? ?8??8?
5?2?3?2
??? ?8??8?
?D.C911?
解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每3
次取到红球的概率为8， 所以
?
P(X＝12)＝C911?
3?9?5?23
?×?8?×.
8?8???
答案 D 二、填空题
6.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
解析 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗). 依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72
7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，
记一天中从甲地去乙地的旅客人数800＜X≤900的概率为p0，则p0＝________.
解析 由X～N(800，502)，知μ＝800，σ＝50， 又P(700＜X≤900)＝0.954 4，
1
则P(800＜X≤900)＝2×0.954 4＝0.477 2. 答案 0.477 2
5
8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝9，则P(Y≥1)＝________.
510
解析 ∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C2(1－p)2＝9，解得p＝3.319又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)＝. 27
19答案 27 三、解答题
9.(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.
解 (1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”， A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”， B为“顾客抽奖1次能获奖”， 则B表示“顾客抽奖1次没有获奖”.
由题意A1与A2相互独立，则A1与A2相互独立，且B＝A1·A2， 4251因为P(A1)＝10＝5，P(A2)＝10＝2，
2??1?3?
所以P(B)＝P(A1·A2)＝?1－5?·?1－2?＝10，
????37
故所求事件的概率P(B)＝1－P(B)＝1－10＝10. (2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C， 1
由P(C)＝P(A1·A2) ＝P(A1)·P(A2)＝5，
1??
顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B?3，5?，
??于是
?
P(X＝0)＝C03?
1?0?4?364
???＝，
125?5??5?
?
P(X＝1)＝C13??P(X＝2)＝C23??P(X＝3)＝C33?
1?1?4?248
???＝
125， ?5??5?
1?2?4?112
???＝
125， ?5??5?1?3?4?01
???＝
125. ?5??5?
故X的分布列为
X P 0 64125 1 48125 2 12125 3 1125 10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.
解 (1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(AB C)＋P(ABC)＋P(A BC)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275. (2)甲被录取的概率为P0.75×0.4＝0.3.
甲
＝0.5×0.6＝0.3，同理P
乙
＝0.6×0.5＝0.3，P
丙
＝
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即
k3
X～B(3，0.3)，X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝k)＝Ck3(0.3)·(1－0.3)
－k
.
03故P(X＝0)＝C03×0.3×(1－0.3)＝0.343， 2P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)＝0.441， 2P(X＝2)＝C23×0.3×(1－0.3)＝0.189， 3P(X＝3)＝C33×0.3＝0.027，
故X的分布列为
X P 0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 11.(2016·郑州二模)先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x≠y”，则概率P(B|A)＝( ) 1A.2
1 B.4
1C.3
2D.3 2×3×31
＝2，6×6121＝3，6×6
解析 若x＋y为偶数，则x，y两数均为奇数或均为偶数.故P(A)＝
又A，B同时发生，基本事件一共有2×3×3－6＝12个，∴P(AB)＝1
P（AB）32
∴P(B|A)＝＝1＝3.
P（A）
2答案 D
12.(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜2
的概率都为3，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( ) 4A.9
8 B.27
19C.27
40D.81 1212
解析 乙队3∶0获胜的概率为3，乙队3∶1获胜的概率为3×3＝9，乙队3∶212419?2?214
获胜的概率为?3?×3＝27.∴最后乙队获胜的概率为P＝3＋9＋27＝27，故选??
2020版高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用精练：第8讲 二项分布与正态分布 Word版含解析
