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数值计算方法
要求： 一、
独立完成，下面五组题目中，请任选其中一组题目作答，满分100分；
二、答题步骤：
1. 使用A4纸打印学院指定答题纸（答题纸请详见附件）；
2. 在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答；答题纸上全部信息要求手．．．．．．写，包括中心、学号、姓名、科目、答题组数等基本信息和答题内容，请写明题型、题号；
三、提交方式：请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个 ．．．．．．．Word．．．．文档中上传（只粘贴部分内容的图片不给分），图片请保持正向、清晰； ．．．
1. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.doc” 2. 文件容量大小：不得超过20MB。
提示：未按要求作答题目的作业及雷同作业，成绩以分记！ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．0．．．
题目如下： 第一组：
一、 计算题（共56分） 1、 （28分）
?135??2?????设有线性方程组Ax?b，其中A?31015,b??8?
???5???51530????（1）求A?LU分解;
（2）求方程组的解
(3)判断矩阵A的正定性 2、（28分）
?1?11??x1???4???????用列主元素消元法求解方程组5?43x??12 ????????211????x3????11??二、 论述题（共44分）
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1、 （28分）
?12?2??1?????已知方程组Ax?b，其中A?111,b?2 ???????221???3??（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。 2、（16分）
使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
第二组：
一、 综合题（共82分）
1、 （28分）
已知下列函数表： x 0 1 3 2 9 3 27 f?x? 1 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f?1.5?的近似值。 2、（24分）
?5??13?x???1???求方程组12???2的最小二乘解
????x?2??1???11????3、（30分）
?10x1?x2?2x3?7.2?已知线性方程组??x1?10x2?2x3?8.3
??x?x?5x?4.23?12（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）对于初始值X(0)??0,0,0?，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算
X(1)（保留小数点后五位数字）
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二、简述题（共18分） 1. 数值求积公式精度是多少？
?30f?x?dx?3f?1??f?2???是否为插值型求积公式？为什么？其代数??2第三组：
一、计算题（共76分）
1、（22分）用高斯消元法求解下列方程组
?2x1?8x2?2x3?14??x1?6x2?x3?13 ?2x?x?2x?53?122、（31分）
?2?10???用雅可比方法求矩阵A??12?1的特征值和特征向量 ????0?12??3、（23分）
求过点（-1，-2），（1,0）（3，-6），（4,3）的三次插值多项式
二、简述题（24分）
写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
1?01?xdx
1第四组：
一、计算题（共48分） 1、（24分）
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20取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分近似值（保留4位小数）。 2、（24分）
?1dx的21?2x?12???设A?1?1，求cond?A?2 ????11??二、 论述题（共52分）
1、（30分）
已知方程组Ax?b，其中
?211??1??b??1?A??121???????112??，?1??
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 2、（22分） 数值积分公式
?30f?x?dx?3?f?1??f?2??是否为插值型求积公式，为什么？又该? ，2?公式的代数精度是多少？
第五组：
计算题
1. 写出求解线性代数方程组
?x1?2x2?2x3?5? ??x1?3x2??1??2x1?7x3?2的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分） 2.
（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式P2(x)； （2）以0，1，2为求积节点，建立求积分I??30f(x)dx的一个插值型求积公式，并推
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导此求积公式的截断误差。（41分）
?21??131??的LU分解。3. 利用Gauss变换阵，求矩阵A??（要求写出分解过程）
?13?1???1?2??（31分）
天大《数值计算方法》2017年12月考试期末大作业
