2020-2021北京市人大附中高三数学上期中模拟试卷(带答案)
一、选择题
1.如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值,则
A.?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B.?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形
C.?A1B1C1是钝角三角形,?A2B2C2是锐角三角形 D.?A1B1C1是锐角三角形,?A2B2C2是钝角三角形
2.已知数列?an?的首项a1?1,数列?bn?为等比数列,且bn?an?1.若b10b11?2,则anD.212
a21?( )
A.29
B.210
C.211
3.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A.一尺五寸
B.二尺五寸
C.三尺五寸
D.四尺五寸
4.下列函数中,y的最小值为4的是( )
4A.y?x?
xC.y?ex?4e?x
5.已知x?0,y?0,且9x?y?1,则A.10
B.12?
B.y?2(x2?3)x?22
D.y?sinx?4(0?x??) sinx11?的最小值是 xyC.14
D.16
6.若VABC的对边分别为a,b,c,且a?1,?B?45o,SVABC?2,则b?( ) A.5
B.25
C.41 D.52 7.已知幂函数y?f(x)过点(4,2),令an?f(n?1)?f(n),n?N?,记数列?前n项和为Sn,则Sn?10时,n的值是( ) A.10
B.120
C.130
D.140
?1??的a?n?8.若关于x的不等式x2?ax?2?0在区间?1,5?上有解,则a的取值范围是( ) A.???23?,??? ?5?B.???23?,1? 5??C.?1,???
D.???,??23? 5??9.在VABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若
(a?c?cosB)?sinB?(b?c?cosA)?sinA,则VABC的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
10.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,若a3?a4?a11?18则S11?( ) A.9
B.22
C.36
D.66
11.在等比数列?an?中,a2?a1?2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4为( ) A.9
B.27
C.54
D.81
12.在等差数列?an?中,如果a1?a2?40,a3?a4?60,那么a7?a8?( ) A.95
B.100
C.135
D.80
二、填空题
13.等差数列?an?中,a1?1,a3?a5?14,其前n项和Sn?100,则n=__ 14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=15.已知数列
的前项和
93,S3=,则a1的值为________. 22,则
_______.
16.已知等比数列{an}的首项为2,公比为2,则17.若两个正实数x,y满足范围是____________ . 18.已知三角形__________.
中,
边上的高与
aan?1aa1?aa2?L?aan?_______________.
14y??1,且不等式x??m2?3m有解,则实数m的取值xy4边长相等,则的最大值是
19.设等差数列?an?,?bn?的前n项和分别为Sn,Tn若对任意自然数n都有
Sn2n?3a9a3??,则的值为_______. Tn4n?3b5?b7b8?b420.在锐角ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a?2b?4,asinA?4bsinB?6asinBsinC,则nABC的面积取最小值时有c2?__________.
三、解答题
21.在VABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB?sinC?msinA?m?R?,且
a2?4bc?0.
(1)当a?2,m?5时,求b,c的值; 4(2)若角为锐角,求m的取值范围.
22.在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC.
(Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)求sinB?sinC的最大值.
???A?23.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin??.
3??(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=
32
c,求sin C的值. 424.已知数列?an?的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列. (1)求数列?an?的通项公式;
(2)若数列?bn?满足anbn?1?2nan,求数列?bn?的前n项和Tn. 25.已知在VABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
asinB?bcosA?0. (1)求角A的大小:
(2)若a?25,b?2.求VABC的面积.
?an?1,n为奇数a=1a?n?N*?设bn?a2n?1. a26.已知数列?n?满足:1,n?1???2an,n为偶数(1)证明:数列?bn?2?为等比数列; (2)求数列??3n??的前n项和Sn. ?bn+2?
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一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】 【详解】
?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则?A1B1C1是锐角三角形,若?A2B2C2是锐角三角
A2?形,由
,得{B2??2?A1?B1,那么,A2?B2?C2??C1?2?2,矛
C2?盾,所以?A2B2C2是钝角三角形,故选D.
?22.B
解析:B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出an=b1b2…bn-1,由此利用b10b11=2,根据等比数列的性质能求出a21. 【详解】
数列{an}的首项a1=1,数列{bn}为等比数列,且bn?∴b1=an?1, anaa2a?a2,b2=3,?a3?b1b2,b3=4,?a4?b1b2b3, a1a2a3Qb10b11?2,?a21?b1b2?b20?(b1b20)?(b2b19)???(b10b11)?210 . …an?b1b2?bn?1,故选B. 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.
3.B
解析:B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为?an?,可得?an?为等差数列,根据已知结合前n项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为?an?,
Sn是其前n项和,则S9?9?a1?a9?2?9a5?85.5尺,
所以a5?9.5尺,由题知a1?a4?a7?3a4?31.5, 所以a4?10.5,所以公差d?a5?a4??1, 所以a12?a5?7d?2.5尺。 故选:B. 【点睛】
本题考查等差数列应用问题,考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算,属于中档题.
4.C
解析:C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则:“一正,二定,三相等”,对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A错误,Qx可能为负数,没有最小值;
?2选项B错误,化简可得y?2?x?2??2??, 2x?2?11x?22由基本不等式可得取等号的条件为x?2?显然没有实数满足x2??1;
,即x2??1,
选项D错误,由基本不等式可得取等号的条件为sinx?2, 但由三角函数的值域可知sinx?1; 选项C正确,由基本不等式可得当ex?2, 即x?ln2时,y?e?4e【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用?或?时等号能否同时成立).
x?x取最小值4,故选C.
5.D
解析:D 【解析】 【分析】
通过常数代换后,应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x>0,y>0,且9x+y=1, ∴
?11?11y9xy9x???9x?y??????9???1?10?2??16 xyxyxyxy??y9x11,y?时取等号. 当且仅当?时成立,即x?xy124故选D. 【点睛】
2020-2021北京市人大附中高三数学上期中模拟试卷(带答案)
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