2020-2021北京市人大附中高三数学上期中模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则
A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形
C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形
2．已知数列?an?的首项a1?1，数列?bn?为等比数列，且bn?an?1．若b10b11?2，则anD．212
a21?（ ）
A．29
B．210
C．211
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A．一尺五寸
B．二尺五寸
C．三尺五寸
D．四尺五寸
4．下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
4A．y?x?
xC．y?ex?4e?x
5．已知x?0,y?0，且9x?y?1，则A．10
B．12?
B．y?2(x2?3)x?22
D．y?sinx?4(0?x??) sinx11?的最小值是 xyC．14
D．16
6．若VABC的对边分别为a,b,c，且a?1，?B?45o,SVABC?2,则b?（ ） A．5
B．25
C．41 D．52 7．已知幂函数y?f(x)过点(4,2)，令an?f(n?1)?f(n)，n?N?，记数列?前n项和为Sn，则Sn?10时，n的值是（ ） A．10
B．120
C．130
D．140
?1??的a?n?8．若关于x的不等式x2?ax?2?0在区间?1,5?上有解,则a的取值范围是（ ） A．???23?,??? ?5?B．???23?,1? 5??C．?1,???
D．???,??23? 5??9．在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
(a?c?cosB)?sinB?(b?c?cosA)?sinA，则VABC的形状为（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若a3?a4?a11?18则S11?（ ） A．9
B．22
C．36
D．66
11．在等比数列?an?中，a2?a1?2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为( ) A．9
B．27
C．54
D．81
12．在等差数列?an?中，如果a1?a2?40,a3?a4?60，那么a7?a8?（ ） A．95
B．100
C．135
D．80
二、填空题
13．等差数列?an?中，a1?1,a3?a5?14,其前n项和Sn?100，则n=＿＿ 14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝15．已知数列
的前项和
93，S3＝，则a1的值为________． 22，则
_______．
16．已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，则17．若两个正实数x,y满足范围是____________ . 18．已知三角形__________．
中，
边上的高与
aan?1aa1?aa2?L?aan?_______________．
14y??1，且不等式x??m2?3m有解，则实数m的取值xy4边长相等，则的最大值是
19．设等差数列?an?，?bn?的前n项和分别为Sn,Tn若对任意自然数n都有
Sn2n?3a9a3??，则的值为_______． Tn4n?3b5?b7b8?b420．在锐角ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a?2b?4,asinA?4bsinB?6asinBsinC,则nABC的面积取最小值时有c2?__________.
三、解答题
21．在VABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB?sinC?msinA?m?R?,且
a2?4bc?0．
(1)当a?2,m?5时,求b,c的值; 4(2)若角为锐角,求m的取值范围．
22．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC.
（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.
???A?23．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin??.
3??(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝
32
c，求sin C的值． 424．已知数列?an?的前n项和为Sn，且1，an，Sn成等差数列． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）若数列?bn?满足anbn?1?2nan，求数列?bn?的前n项和Tn． 25．已知在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
asinB?bcosA?0． （1）求角A的大小：
（2）若a?25，b?2．求VABC的面积．
?an?1,n为奇数a=1a?n?N*?设bn?a2n?1． a26．已知数列?n?满足：1，n?1???2an,n为偶数（1）证明：数列?bn?2?为等比数列； （2）求数列??3n??的前n项和Sn． ?bn+2?
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1B1C1是锐角三角形，若?A2B2C2是锐角三角
A2?形，由
，得{B2??2?A1?B1，那么，A2?B2?C2??C1?2?2，矛
C2?盾，所以?A2B2C2是钝角三角形，故选D.
?22．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件推导出an=b1b2…bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21． 【详解】
数列{an}的首项a1=1，数列{bn}为等比数列，且bn?∴b1＝an?1， anaa2a?a2，b2＝3，?a3?b1b2，b3＝4，?a4?b1b2b3， a1a2a3Qb10b11?2，?a21?b1b2?b20?（b1b20）?（b2b19）???（b10b11）?210 ． …an?b1b2?bn?1，故选B． 【点睛】
本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为?an?，可得?an?为等差数列，根据已知结合前n项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为?an?，
Sn是其前n项和，则S9?9?a1?a9?2?9a5?85.5尺，
所以a5?9.5尺，由题知a1?a4?a7?3a4?31.5， 所以a4?10.5，所以公差d?a5?a4??1， 所以a12?a5?7d?2.5尺。 故选:B. 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A错误，Qx可能为负数，没有最小值；
?2选项B错误，化简可得y?2?x?2??2??， 2x?2?11x?22由基本不等式可得取等号的条件为x?2?显然没有实数满足x2??1；
，即x2??1，
选项D错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx?2， 但由三角函数的值域可知sinx?1； 选项C正确，由基本不等式可得当ex?2， 即x?ln2时，y?e?4e【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用?或?时等号能否同时成立）.
x?x取最小值4，故选C.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x＞0，y＞0，且9x+y=1， ∴
?11?11y9xy9x???9x?y??????9???1?10?2??16 xyxyxyxy??y9x11,y?时取等号. 当且仅当?时成立，即x?xy124故选D. 【点睛】
2020-2021北京市人大附中高三数学上期中模拟试卷(带答案)
