2019-2020学年北京市丰台区高一(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)
1. 设集合??={??|??<5},集合??={??|???2≤0},则??∪??=( )
A. {??|??≤2} B. {??|??<5} C. {??|2?<5} D. {??|2≤??<5}
2. 已知命题p:“???∈??,??2???+1<0”,则¬??为( )
A. ???∈??,??2???+1≥0 B. ??????,??2???+1≥0 C. ???∈??,??2???+1≥0 D. ???∈??,??2???+1<0 3. 若??>??,则下列不等式中恒成立的是( )
A. ????>???? B. ??2>??2 C. ??3>??3
D. ??>??
11
4. 已知p:??为锐角,q:??为第一象限角,则p是q的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数??(??)=ln??+2???6的零点??0所在区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 6. 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、
粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉
上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为??=1000??????????.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定??的值为( )
1
A. 200 B. 400
??
C. 200?? D. 400??
7. 函数??(??)=sin(???4)的一个单调递增区间可以是( )
A. [?
3????4
,4] B. [?2,2]
1
????
C. [?2,0]
??
D. [0,2]
??
8. 若对任意的??∈(0,+∞),都有??+??≥??,则a的取值范围是( )
A. (?∞,2) B. (?∞,2] C. (2,+∞)
??
D. [2,+∞)
9. 把函数??=????????的图象上所有点向右平行移动6个单位长度,再把所得图象上所有
点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )
1
A. ??=cos(2???6) C. ??=cos(2???3)
1
??
1??
B. ??=cos(2???6) D. ??=cos(2???3)
??
??
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10. 已知函数??(??)=??2+1,关于??(??)的性质,有以下四个推断:
①??(??)的定义域是(?∞,+∞); ②??(??)是奇函数;
③??(??)在区间(0,1)上单调递增; ④??(??)的值域是[?2,2].
其中推断正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)
11. 设全集??={1,2,3,4,5},集合??={1,2},??={2,3,4},则??∩?????=______. 2,3},12. 已知??∈{?1,2,1,若幂函数??(??)=????在(0,+∞)上单调递减,则??=______. 13. 不等式(??+2)(???2)>0的解集是______. 14. ??????15°??????15°=______.
1
15. ()?3+log39=______.
8
1
??
11
1
16. 如果函数??(??)在其定义域内存在实数??0,使得??(??0+1)=??(??0)+1成立,则称函
数??(??)为“K函数”
(1)函数??(??)=????______(填“是”或“不是”)“K函数”;
(2)若函数??(??)=log2(??2+??2)是“K函数”,则a的取值范围是______. 三、解答题(本大题共4小题,共36.0分) 17. 已知??是第二象限角,且????????=5.
(Ⅰ)求????????和????????的值; (Ⅱ)求tan(??+4)的值.
18. 函数??=??(??)是定义在R上的偶函数,且图象过(?1,1)点.已知??≥0时,??(??)=
?????1(??>0且??≠1). (Ⅰ)求??(1)的值和a的值;
(Ⅱ)若??(??)∈[0,3],求m的取值范围.
??的终边分别与单位圆O交于19. 在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边的两个角??,
点M,N,已知M,N关于原点对称.
??
3
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(Ⅰ)若点M的坐标为(,
3
12√2
),求????????,????????的值. 3
??
(Ⅱ)当??∈[0,??]时,求√3????????+sin(2+??)的最大值.
20. 为进一步改善空气质量,增强人民的蓝天幸福感,2018年7月3日,国务院公开发
布《打贏蓝天保卫战三年行动计划》,其中京津冀地区被列为重点治理区域.某课外活动小组根据北京市预报的某天(0~24时)空气质量指数数据绘制成散点图,并
选择连续函数??={
????+118
2??2?64??+??
0≤??≤8
来近似刻画空气质量指数y随时间t
8?≤24
变化的规律(如图). (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)当空气质量指数大于150时,有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩,并禁止某行业施工作业.请你结合该课外活动小组选择的函数模型,回答以下问题: (??)某同学该天7:00出发上学,是否应该戴防雾霾口罩?请说明理由; (ⅱ)试问该天8:00之后,该行业可以施工作业的时间最长为多少小时?
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:∵??={??|??<5},??={??|??≤2}, ∴??∪??={??|??<5}. 故选:B.
可以求出集合B,然后进行并集的运算即可.
本题考查了描述法的定义,并集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题. 2.【答案】C
【解析】解:由特称命题的否定为全称命题,可得
命题p:???∈??,??2???+1<0,则¬??是???∈??,??2???+1≥0. 故选:C.
由特称命题的否定为全称命题,注意量词和不等号的变化.
本题考查命题的否定,注意特称命题的否定为全称命题,考查转换能力,属于基础题. 3.【答案】C
【解析】解:∵??>??,∴根据不等式的基本性质知??3>??3,故C正确;
由??>??,取??=1,??=?1,??=0可排除AB;取??=?1,??=?2可排除D. 故选:C.
根据不等的基本性质可判断C的真假,取特殊值可排除ABC. 本题考查了不等式的基本性质,属基础题. 4.【答案】A
【解析】解:由?????,反之不成立,例如??=2??+6.
∴??是q的充分不必要条件. 故选:A.
利用锐角与第一象限角的关系即可判断出结论.
本题考查了锐角与第一象限角的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
判断函数是连续增函数,利用函数的领导品牌定理,从而得到函数??(??)=??????+2???6的零点所在的区间. 【解答】
解:∵连续函数??(??)=??????+2???6是增函数,
∴??(2)=????2+4?6=????2?2<0,??(3)=????3>0,
∴??(2)???(3)<0,故函数??(??)=??????+2???6的零点所在的区间为(2,3), 故选:C. 6.【答案】D
??
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【解析】解:由y与t的函数关系为??=1000??????????,且4??=800, 所以??=200,所以??=
1
2????
111
=400??.
故选:D.
由y与t的函数关系以及函数图象求出T的值,再求??的值. 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题. 7.【答案】D
【解析】解:在区间[?排除A;
在区间[?2,2],???4∈[?在区间[?2,0],???4∈[?
??
??
??
??
????
??
3????43??4
4
3????4
,4],???4∈[???,0],函数??(??)=sin(???4)没有单调性,故
??
????
,],函数??(??)=sin(???4)没有单调性,故排除B; ,?],函数??(??)=sin(???4)没有单调性,故排除C; 4
??
??
??
在区间[0,2],???4∈[?4,4],函数??(??)=sin(???4)单调递增,故D满足条件, 故选:D.
由题意根据x的范围,得到???4的范围,结合三角函数的单调性,得出结论. 本题主要考查三角函数的单调性,属于基础题. 8.【答案】B
【解析】解:由??∈(0,+∞),可得??+??≥2, 故??≤2. 故选:B.
利用基本不等式可得??+??≥2,从而可求a的范围. 本题考查了利用基本不等式求解最值,属于基础题. 9.【答案】B
【解析】解:由??=????????的图象向右平行移动6个单位长度,得到??=cos(???6), 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍得到??=cos(2???6)
故选:B.
根据左加右减的性质先左右平移,再进行??伸缩变换即可得到答案.
本题主要考查函数??=????????(????+??)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的. 10.【答案】D
【解析】解:①因为??2+1≥1≠0,所以函数的定义域为R,即①正确; ②??(???)=(???)2+1=???2+1=???(??),所以??(??)是奇函数,即②正确; ③任取??1,??2∈(0,1),且??1?2,则??(??1)???(??2)=??2+1???2+1=
1
2
????
??
1
1
????
1??
?????
??1??2
2+1)???(??2+1)??1(??221
2+1)(??2+1)(??12
=
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