22．（5分）（2013?北京）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积． 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 a ；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
，则AD的长为 ．
2
考点：四 边形综合题 分析： 1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2； （（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积； （3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度． 解答： 解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a， 每个等腰直角三角形的面积为：a?a=a， 则拼成的新正方形面积为：4×a=a，即与原正方形ABCD面积相等． 故填空答案为：a． （2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a，正方形ABCD的面积为a， ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2． （3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W． 222222
21
由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长． 不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a． 如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a， 在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×∴S△RSF=a?a=a． x． 22=a， 过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，同理可求得：S△ADS= ∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×正△ABC的面积为a， 2a=2a， 2∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS， ∴=3×x，解得x=或x=2（不合题意，舍去） ∴x=，即AD的长为． 故填空答案为：． 点评：本 题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
22
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
2
23．（7分）（2013?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
考点：二 次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征． 分析：（ 1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标； （2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式． 解答：解 ：（1）当x=0时，y=﹣2， ∴A（0，﹣2）， 抛物线的对称轴为直线x=﹣=1， ∴B（1，0）； （2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，﹣2）， 则直线l经过A′、B， 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则解得， ， 所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2； （3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
23
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称， 结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方， ∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1， 当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4， 所以，抛物线过点（﹣1，4）， 当x=﹣1时，m+2m﹣2=4， 解得m=2， 2∴抛物线的解析式为y=2x﹣4x﹣2． 点评：本 题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键． 24．（7分）（2013?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
考点：全 等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质 分析：（ 1）求出∠ABC的度数，即可求出答案； （2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出
24
∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可； （3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可． 解答：解 ：（1）∵AB=AC，∠A=α， ∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α， ∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°， 即∠ABD=30°﹣α； （2）△ABE是等边三角形， 证明：连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD， 则BC=BD，∠DBC=60°， ∵∠ABE=60°， ∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形， 在△ABD与△ACD中 ∴△ABD≌△ACD， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α， ∵∠BCE=150°， ∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD， 在△ABD和△EBC中 ∴△ABD≌△EBC， ∴AB=BE， ∴△ABE是等边三角形； （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°， ∴∠DCE=150°﹣60°=90°， ∵∠DEC=45°， ∴△DEC为等腰直角三角形， ∴DC=CE=BC， ∵∠BCE=150°，
25
2013年北京市中考数学试卷（含答案）
