即f（x）＝ax－ax－2a－1.
4a（－2a－1）－（－a）
又函数的最大值是8，即＝8，
4a解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为f（x）＝－4x＋4x＋7. （2）∵f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立， ∴f（x）的对称轴为x＝2.
又∵f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2， ∴f（x）＝0的两根为1和3.
设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）， 又∵f（x）的图象过点（4，3），∴3a＝3，∴a＝1. ∴所求f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3）， 即f（x）＝x－4x＋3.
规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：
2
2
2
2
【训练1】 若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝ Ｗ. 解析 由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称， ∴b＝－2，∴f（x）＝－2x＋2a， 又f（x）的值域为（－∞，4]， ∴2a＝4，故f（x）＝－2x＋4. 答案 －2x＋4
考点二 二次函数的图象与性质
2
2
22
2
【例2】 已知函数f（x）＝x＋2ax＋3，x∈[－4，6]. （1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数； （3）当a＝－1时，求f（|x|）的单调区间.
解 （1）当a＝－2时，f（x）＝x－4x＋3＝（x－2）－1，由于x∈[－4，6]， ∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f（x）的最小值是f（2）＝－1，
又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35.
（2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范围是（－∞，－6]∪[4，＋∞）.
（3）由－4≤|x|≤6，得－6≤x≤6，当a＝－1时，f（|x|）＝x－2|x|＋3
?x＋2x＋3＝（x＋1）＋2，x≤0，?＝?2 2
?x－2x＋3＝（x－1）＋2，x>0，?
2
2
2
2
2
2
其图象如图所示，
∴f（|x|）在[－6，6]上的单增区间为[－1，0]和[1，6]，单减区间为[－6，－1）和（0，1）. 规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
（1）抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
（2）要注意数形结合思想的应用.
【训练2】 （1）设abc>0，二次函数f（x）＝ax＋bx＋c的图象可能是（ ）
2
（2）若函数f（x）＝ax＋2x＋3在区间[－4，6]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是 Ｗ.
解析 （1）由A，C，D知，f（0）＝c<0，
2
从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f（0）
2a＝c>0，
所以ab>0，所以对称轴x＝－<0，B错误.
2a（2）由题意可知f′（x）＝2ax＋2≥0在[－4，6]上恒成立，
??f′（－4）＝－8a＋2≥0，所以?
?f′（6）＝12a＋2≥0，?
bb11所以－≤a≤.
64
?11?答案 （1）D （2）?－，?
?64?
考点三 二次函数的最值
【例3－1】 已知函数f（x）＝ax＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值. 解 f（x）＝a（x＋1）＋1－a.
（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； （2）当a>0时，函数f（x）在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f（2）＝8a＋1＝4，解3得a＝；
8
（3）当a<0时，函数f（x）在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.
3
综上可知，a的值为或－3.
8
【例3－2】 将例3－1改为：求函数f（x）＝x＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值. 解 f（x）＝（x＋a）＋1－a，
∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a， 11
（1）当－a<，即a>－时，f（x）max＝f（2）＝4a＋5；
2211
（2）当－a≥，即a≤－时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a.
221
4a＋5，a>－，
2
综上，f（x）max＝
1
2－2a，a≤－.
2
2
2
2
2
2
?????
规律方法 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.
【训练3】 设函数f（x）＝x－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f（x）的最小值. 解 f（x）＝x－2x＋2＝（x－1）＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f（t＋1）＝t＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图（2）所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f（1）＝1；
2
2
2
2
当t>1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为f（t）＝t－2t＋2.
2
t＋1，t<0，??
综上可知，f（x）min＝?1，0≤t≤1，
??t2－2t＋2，t>1.
考点四 一元二次方程根的分布 角度1 两根在同一区间
【例4－1】 若二次函数y＝－x＋mx－1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围. 解 线段AB的方程为＋＝1（x∈[0，3]）， 33即y＝3－x（x∈[0，3]）， 由题意得方程组：?
2
2
2
多维探究
xy?y＝3－x，?
2
??y＝－x＋mx－1，
消去y得x－（m＋1）x＋4＝0，①
由题意可得，方程①在x∈[0，3]内有两个不同的实根，令f（x）＝x－（m＋1）x＋4，
2
?1?0≤m＋≤3，2则?
f（0）＝4≥0，??f（3）＝10－3m≥0，
Δ＝（m＋1）2－16>0，
m<－5或m>3，
??－1≤m≤5，解得?
10m≤，??3
10?10?所以3 3?3? 角度2 两根在不同区间 【例4－2】 求实数m的取值范围，使关于x的方程x＋2（m－1）x＋2m＋6＝0. （1）一根大于1，另一根小于1； （2）两根α，β满足0<α<1<β<4； （3）至少有一个正根. 解 令f（x）＝x＋2（m－1）x＋2m＋6， 5 （1）由题意得f（1）＝4m＋5<0，解得m<－. 45??即实数m的取值范围是?－∞，－?. 4?? 2 2 f（0）＝2m＋6>0，?5?m<－， 4 （2）?f（1）＝4m＋5<0，解得 ?7?f（4）＝10m＋14>0， 5?75?7 所以－ 4?54?5 ?????m>－5， m>－3， ??f（0）＝2m＋6>0， （3）当方程有两个正根时，? 2（m－1）－>0，??2 解得－3 Δ＝4（m－1）2－4（2m＋6）>0， 当方程有一个正根一个负根时，f（0）＝2m＋6<0，解得m<－3. 当方程有一个根为零时，f（0）＝2m＋6＝0，解得m＝－3， 此时f（x）＝x－8x，另一根为8，满足题意. 综上可得，实数m的取值范围是（－∞，－1）. 角度3 在区间（m，n）内有且只有一个实根 【例4－3】 已知函数f（x）＝mx－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围. 解 依题意，得 2 2 m>0，??2 （1）?Δ＝（－2）－4m>0，无解. ??f（0）<0，
浙江省2024届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节二次函数含解析
