第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理
1．基本不等式ab≤a＋b2
2．几个重要的不等式 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤?(4)
2
2
baab?a＋b?2 (a，b∈R)．
??2?
≥?
a2＋b2?a＋b?2
2
? (a，b∈R)． ?2?
以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
a＋b2
，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?
p2
f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x) f(x)min (3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x) 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数y＝x＋的最小值是2.( × ) x4π (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.( × ) cos x2(3)“x>0且y>0”是“x＋yyx≥2”的充要条件．( × ) (4)若a>0，则a3 ＋1a2的最小值为2a.( × ) (5)不等式a2＋b2 ≥2ab与 a＋b2 ≥ab有相同的成立条件．( ×(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C 解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2 ≥xy， 即xy≤( x＋y2 )2 ＝81， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2．已知f(x)＝x＋1 x－2(x<0)，则f(x)有( ) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 答案 C 解析 f(x)≤－2 －x－1 x－2＝－4， 当且仅当x＝－1时，f(x)max＝－4. 3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.11B.1ab≤4 a＋1b≤1 C.ab≥2 D．a2 ＋b2 ≥8 答案 D ) ) 11 解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，≥，选项A， ab411a＋b4222 C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)－2ab＝16－2ab≥8，选项D ababab成立． 4．(教材改编)已知x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 答案 1 16 解析 1＝x＋4y≥24xy＝4xy， 121 ∴xy≤()＝， 416 1 x＝，??21 当且仅当x＝4y＝，即?21 y＝??8 2 1 时，(xy)max＝. 16 5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m. 答案 25 解析 设矩形的一边为x m， 1 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， 2∴y＝x(10－x)≤[ 2 x＋ 2 －x]＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式 例1 (1)已知0 (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． 44x－5 x2＋2 (3)函数y＝(x>1)的最小值为________． x－1 2 答案 (1) (2)1 (3)23＋2 3 113x＋－3x24 解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]＝， 33232 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． 35 (2)因为x<，所以5－4x>0， 4 11 则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 4x－55－4x1 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 5－4x1 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－5 x2＋2x2－2x＋＋(3)y＝＝ x－1x－1 ＝ x－ ＋3 x－ 2 ＋x－x－1 ＋3 ＝(x－1)＋ 3 ＋2≥23＋2. x－1 3x－ ，即x＝3＋1时，等号成立． 当且仅当(x－1)＝ 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式 11 例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． ab答案 4 解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋ ababab≥2＋2引申探究 ba111 ·＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． abab2 11 1．条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值． ab11a＋ba＋bba解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋) ababab＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. 1 当且仅当a＝b＝时，取等号． 2 baab 11 2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值． ab1111 解 由＋＝4，得＋＝1. ab4a4b111ba1∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋24a4b24a4b21 当且仅当a＝b＝时取等号． 2 11 3．将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值． ba·＝1. 4a4bab解 ∵a＋2b＝3， 12 ∴a＋b＝1， 33 11111212a2b∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋ abab33333b3a≥1＋2 a2b22 ·＝1＋. 3b3a3 当且仅当a＝2b时，取等号． 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________． (2)已知x，y∈(0，＋∞)，2答案 (1)5 (2)4 13 解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1， 5y5x13 ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋) 5y5x943x12y1312 ＝＋＋＋≥＋＝5. 555y5x55 x－3 1y1m＝()，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________. 2xy 3x12y1 当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立， 5y5x2∴3x＋4y的最小值是5. 3y方法二 由x＋3y＝5xy得x＝， 5y－11 ∵x>0，y>0，∴y>， 5 9y＋4y＝5y－115 y－∴3x＋4y＝ 194＋＋－4y555 ＋4y 5y－1 139＝＋·55 1 ＋4(y－) 15y－536 ＝5， 25 13≥＋25 1 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. 2(2)由2 x－3 1y＝()得x＋y＝3， 2 1m11m＋＝(x＋y)(＋) xy3xy1ymx＝(1＋m＋＋) 3xy1 ≥(1＋m＋2m) 3 (当且仅当＝，即y＝mx时取等号)， 1 ∴(1＋m＋2m)＝3， 3解得m＝4. 题型二 基本不等式的实际应用 例3 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投12 入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(万元)．当年产量不小于80千件 310 000 时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生 ymxxyx产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得：当0 L(x)＝1 000x×0.05－(x2＋10x)－250 12 ＝－x＋40x－250； 3当x≥80时， 13 L(x)＝1 000x×0.05－(51x＋ 10 000 ＝1 200－(x＋)． 10 000 －1 450)－250 xx1 －x＋40x－x??3 ∴L(x)＝?10 000 1 200－x＋??x2 ， x 12 (2)当0 3对称轴为x＝60， 即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)； 10 000 当x≥80时，L(x)＝1 200－(x＋) x≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1 000(万元)， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件， 则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备 8费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． 答案 (1)80 (2)8 解析 (1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得 xy＝800x＋≥2 x8800x·＝20. x8 800x当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立． x8 y25 (2)年平均利润为＝－x－＋18 xx25 ＝－(x＋)＋18， x25∵x＋≥2xx·＝10， xx25 y25 ∴＝18－(x＋)≤18－10＝8， x25 当且仅当x＝，即x＝5时，取等号． x题型三 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x＋y－2y－5＝0的41 圆心，则＋的最小值是( ) 2 2 bcA．9 B．8 C．4 D．2 (2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则 Sn＋8 的最小值是________． an9 答案 (1)A (2) 2 解析 (1)圆x＋y－2y－5＝0化成标准方程， 得x＋(y－1)＝6， 所以圆心为C(0,1)． 因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C， 所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 41414cb因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5. 2 22 2 bcbcbc因为b，c>0， 4cb所以＋≥2bc4cb·＝4. bc4cb当且仅当＝时等号成立． bc2141 由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9. 33bc (2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝ n＋n， 2 n∴ Sn＋8 ＝an16 ＋n＋82 n9 116 ＝(n＋＋1)≥ 2n1 (22 n·＋1)＝， n2 当且仅当n＝4时取等号． ∴ Sn＋89的最小值是. an2 命题点2 求参数值或取值范围 31m例5 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( ) aba＋3bA．9 B．12 C．18 D．24 x2＋ax＋11* (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N，f(x)≥3恒成立，则a的取值 x＋1 范围是________． 8 答案 (1)B (2)[－，＋∞) 331m解析 (1)由＋≥， aba＋3b319ba得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6. abab9ba9ba又＋＋6≥29＋6＝12(当且仅当＝时等号成立)， abab∴m≤12，∴m的最大值为12. x2＋ax＋118 (2)对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3. x＋1x* 817* 设g(x)＝x＋，x∈N，则g(2)＝6，g(3)＝. x317 ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝， 388 ∴－(x＋)＋3≤－， x3 88 ∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)． 33 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． (1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞， 0]∪[4，＋∞)，则a的值是( ) 13 A. B. C．1 D．2 22 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，14 则＋的最小值为( ) axmn35925A. B. C. D. 2346答案 (1)C (2)A 解析 (1)由题意可得a>0， ①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号； ②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2， 当且仅当x＝－a时取等号， axax?2－2a＝0，所以? ?2a＋2＝4， 解得a＝1，故选C. 6 5 4 (2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q＝a1q＋2a1q， 所以q－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为aman＝4a1，所以q所以2 m＋n－2 4 2 m＋n－2 ＝16， ＝2，所以m＋n＝6. 14114所以＋＝(m＋n)(＋) mn6mn1n4m＝(5＋＋) 6mn1 ≥(5＋26 n4m3·)＝. mn2nn4m当且仅当＝时，等号成立， m又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意． 143故＋的最小值等于. mn2 9．利用基本不等式求最值 12 典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________． xy3 (2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________． x错解展示 12 解析 (1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥22 xyxy， ∴xy≥22，∴x＋y≥2xy＝42， ∴x＋y的最小值为42. 33 (2)∵2x＋≥26，∴y＝1－2x－≤1－26. xx3 ∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－26]． x答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错 解析 (1)∵x>0，y>0， 12 ∴x＋y＝(x＋y)(＋) xyy2x＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)， xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33 (2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 xx－2x3 ＝1＋26，当且仅－x当x＝－ 63 时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋26，＋∞)． 2x答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞) 1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b≥2ab B.＋≥2 abba C．|＋|≥2 答案 C abbaD．a＋b>2ab 22 解析 因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2. 2．下列不等式一定成立的是( ) 12 A．lg(x＋)>lg x(x>0) 4B．sin x＋ 2 abbaabbaabba1 ≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D. 1 >1(x∈R) x＋1 2 答案 C 112 解析 当x>0时，x＋≥2·x·＝x， 4212 所以lg(x＋)≥lg x(x>0)， 4故选项A不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定， 故选项B不正确； 由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有1 ＝1，故选项D不正确． x2＋1 2x有( ) x＋1 2 3．当x>0时，函数f(x)＝A．最小值1 C．最小值2 答案 B 解析 f(x)＝B．最大值1 D．最大值2 2x22 ＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号． x＋112 x＋ 2x14 4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) ab79 A. B．4 C. D．5 22答案 C 14114 解析 依题意，得＋＝(＋)·(a＋b) ab2ab1b4a1 ＝[5＋(＋)]≥(5＋22ab2 b4a9 ·)＝， ab2 a＋b＝2， ??b4a当且仅当?＝，ab??a>0，b>0， 149 即＋的最小值是. ab2A．1＋2 C．3 答案 C 24 即a＝，b＝时取等号， 33 B．1＋3 D．4 解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋当x－2＝ 1 ＋2≥2x－2 x－ 1 ＋2＝4，当且仅x－2 1 (x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. x－2 6．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为( ) A. 2 B．22 C.2 D．2 2 答案 D 解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥22xy， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－22xy， ∴4≤4xy－22xy， 即(2xy－2)(2xy＋1)≥0， ∴2xy≥2，∴xy≥2. 1119 *7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是( ) aba－1b－1A．1 B．6 C．9 D．16 答案 B 11a19 解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝aba－1a－1b－1191 ＋＝＋9(a－1)≥2a－1aa－1 －1a－1 1a－1 a－＝6，当且仅当 1 ＝9(a－1)，即aa－1 4 ＝时等号成立，所以最小值为6.故选B. 3 8．(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x＋2xy＋4y＝6，则z＝x＋4y的取值范围为________． 答案 [4,12] 解析 ∵2xy＝6－(x＋4y)，而2xy≤∴6－(x＋4y)≤2 22 2 2 2 2 2 2 2 x2＋4y2 2 ， x2＋4y2 2 ， ∴x＋4y≥4(当且仅当x＝2y时取等号)． 又∵(x＋2y)＝6＋2xy≥0， 即2xy≥－6，∴z＝x＋4y＝6－2xy≤12 (当且仅当x＝－2y时取等号)． 综上可知4≤x＋4y≤12. 9．(2016·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)＋(y－1)＝2相切，则 2 2 2 22 2 2 a2 b＋1 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞) 解析 ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)＋(y－1)＝2相切， |b＋1＋a|∴d＝＝2， 2∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1， ∴＝b＋1 2 2 a2 －bb＋1 2 ＝b＋ 2 －b＋b＋1 ＋4 ＝(b＋1)＋ 4 －4≥24－4＝0. b＋1 又∵a，b为正实数， ∴ a2 b＋1 的取值范围是(0，＋∞)． 11ab10．设a>0，b>0，若3是3与3的等比中项，则＋的最小值为________． ab答案 4 解析 由题意知3·3＝3，即3∴a＋b＝1，∵a>0，b>0， 11?11?∴＋＝?＋?(a＋b) aba＋b＝3， ab?ab? ＝2＋＋≥2＋2 baabba·＝4， ab1 当且仅当a＝b＝时，等号成立． 2 *11.(2017·东莞调研)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在12 直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________． mn答案 8 解析 y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)， 由A在直线mx＋ny＋1＝0上． 则－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. 122m＋n∴＋＝＋ mnmm＋nn4mn4m11 ＝＋＋4≥24＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等nmnmn42 号成立)． 12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11 (2)求＋的最小值． xy解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20， ∴210xy≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． ??2x＋5y＝20，因此有? ??2x＝5y， ??x＝5， 解得? ??y＝2， 此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， 11?11?2x＋5y∴＋＝?＋?· xy?xy?201?5y2x?1? ＝?7＋＋?≥?7＋2 xy?20?20?＝ 7＋210， 20 5y2x?·? xy? 5y2x当且仅当＝时，等号成立． xy? 由?5y2x＝，??xy?2x＋5y＝20， 1010－20 ?x＝，?3解得? 20－410y＝.??3 117＋210 ∴＋的最小值为. xy20 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N)的1 旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120 * t－|t－20|. (1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 1 解 (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(4＋)(120－|t－20|) * t100 401＋4t＋， 1≤t≤20，??t＝?140 559＋－4t， 20 t 100 (2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2 t100 4t·＝441(t＝5时取最小值)． t140 当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减， 2 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443， 3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元． 14.如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 122 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k)x(k>0)表示的曲线 20上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超 过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 122 解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k)x＝0. 20由实际意义和题设条件知x>0，k>0， 20k2024 故x＝≤＝10， 2＝1＋k12 k＋ k当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10 km. 122 (2)因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k)a成立?关于k的方 20程ak－20ak＋a＋64＝0有正根?Δ＝(－20a)－4a(a＋64)≥0?0 22 2 2 2 2
2024版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理
