每日一题 规范练(第三周)
星期一 2024年4月6日
3
[题目1] 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C＝－.
4(1)求sin C；
(2)当c＝2a，且b＝32时，求a.
332
解：(1)因为cos 2 C＝－，即1－2sin C＝－. 44π
又0＜C＜，
2所以sin C＝
714＝. 84
14
，且△ABC是锐角三角形， 4
2(2)由(1)知sin C＝
所以cos C＝1－sin C＝
2. 4
因为c＝2a，＝，
sin Asin C11452
所以sin A＝sin C＝，cos A＝.
288
37
所以sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.
8因为＝，b＝32，
sin Asin B所以a＝2.
星期二 2024年4月7日
[题目2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，
acabS3＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an· log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3. 又S3＝a1＋a2＋a3＝14，
所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4.
- 1 -
4
因为S3＝＋4＋4q＝14，
q1
所以q＝2或q＝.
2又q＞1，所以公比q＝2. 因此an＝a2qn－2
＝4·2
nn－2
＝2.
n(2)由(1)知an＝2， 所以bn＝an·log2an＝n·2，
所以Tn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2
2
3
4
1
2
3
nn－1
＋n×2.
n＋1
n所以2Tn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2＋n×2两式相减得－Tn＝2＋2＋2＋2＋…＋2－n×22（1－2）n＋1n＋1
－n×2＝(1－n)2－2.
1－2故Tn＝(n－1)2
n＋1
n2
3
4
n.
nn＋1
＝
＋2.
星期三 2024年4月8日
[题目3] 如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为
O，G为CF的中点．
(1)求证：平面ABED⊥平面GED；
(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A-CE-B的余弦值． (1)证明：取DE中点M，连接OM，在三角形BDE中，
OM∥BE，OM＝BE.
12
又因为G为CF中点， 1
所以CG∥BE，CG＝BE.
2所以CG∥OM，CG＝OM.
- 2 -
所以四边形OMGC为平行四边形． 所以GM∥CO.
因为C在平面ABED内的射影为O. 所以CO⊥平面ABED. 所以GM⊥平面ABED， 又因为GM?平面DEG， 所以平面ABED⊥平面GED. (2)解：因为CO⊥平面ABED， 所以CO⊥AO，CO⊥OB，
又因为AB＝BE，所以四边形ABED为菱形， 所以OB⊥AO.
→→→
以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
于是A(3，0，0)，B(0，1，0)，
E(－3，0，0)，C(0，0，3)，
→
→
BE＝(－3，－1，0)，BC＝(0，－1，3)． 设平面BCE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
???－3x－y＝0，
即 ??→
?－y＋3z＝0.
??m·BC＝0，
1
1
1
1
→
m·BE＝0，
不妨令z1＝1，则y1＝3，x1＝－1，则m＝(－1，3，1)． 又n＝(0，1，0)为平面ACE的一个法向量． 设二面角ACEB大小为θ，显然θ为锐角，
|m·n|315
于是cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
|m|·|n|55故二面角A-CE-B的余弦值为
15. 5
星期四 2024年4月9日
- 3 -
[题目4] (2024·河南八市联盟“领军考试”)某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：
日销售量 天数 频率 1 10 0.2 1.5 25 2 15 a b 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． (1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望．
2515
解：(1)由统计表知，a＝＝0.5，b＝＝0.3.
5050依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5. 设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨， 则Y～B(5，0.5)．
5223
所以P(Y＝2)＝C5×0.5×(1－0.5)＝＝0.3125.
16(2)X的可能取值为4，5，6，7，8.
P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，
P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，P(X＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3， P(X＝8)＝0.32＝0.09，
所以X的分布列为：
X P 4 0.04 5 0.2 6 0.37 7 0.3 8 0.09 X的数学期望E(X)＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)．
星期五 2024年4月10日
x2y2
[题目5] 已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是2＋1，
ab且1，2a，4c成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m，0)求实数m的取值范围．
解：(1)由于1，2a，4c成等比数列， 所以1×4c＝2a，即a＝2c.① 又a＋c＝2＋1.②
- 4 -
2
2
联立①②得a＝2，c＝1. 则b2
＝a2
－c2
＝1.
所以椭圆的方程为x2
2
2
＋y＝1.
(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
2
2
与椭圆方程联立得???x＋2y－2＝0，?消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2
－?
y＝k（x－1），2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4k2
则x＝－2k1＋x21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1＋2k2.
2
可得线段AB的中点为N??2k－k?1＋2k2，1＋2k2???
.
当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.
当k≠0时，直线MN的方程为y＋k1?
2k2
?1＋2k2＝－k??x－
1＋2k2??
， 化简得ky＋x－
k2
1＋2k2
＝0.令y＝0，得m＝k2
1＋2k2.
所以m＝k2
1
1＋2k2＝
1
∈??01?k＋2
?，2??. 2综上所述，m的取值范围为??1?0，2???
. 星期六 2024年4月11日
[题目6] (2024·衡水联考)已知函数f(x)＝excos x，x∈??π?
0，2???.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≤ax＋1恒成立，试求正实数a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)＝excos x，x∈???0，π2???，
得f′(x)＝ex(cos x－sin x)，x∈???
0，π2???.
令f′(x)＝0，得x＝π
4
，
则当x∈???0，π4???时，f′(x)＞0；
当x∈??ππ?4，2???
时，f′(x)＜0.
- 5 -
2024届高考数学二轮复习每日一题规范练(第三周)理
