平面向量基础知识复习
平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.
uuurr2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；
uuuruuurABr）3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是?uuu； |AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
rrr5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ar∥b，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
r③平行向量无传递性！（因为有0)；
uuuruuur④三点A、B、C共线?AB、 AC共线. 举例1 已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量AB按向量a?(?1,3)平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)
rrr6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作?a.
举例2 如下列命题：（1）若|a|?|b|，则a?b.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
uuuruuuur（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形.
（4）若ABCD是平行四边形，则AB?DC.
rrrrrr（5）若a?b，b?c，则a?c.
rrrrrr（6）若a//b，b//c则a//c.其中正确的是 . 结果：（4）（5）
uuuruuuurrrrr二、向量的表示方法
uuur1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；
rrr2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
rr3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为
rrrrrr基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj?(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a?(x,y)叫
r做向量a的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理
rrr定理 设e1,e2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对
rrr(?1,?2)，使a??1e1??2e2.
rrrrr（1）定理核心：a?λ1e1?λ2e2；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.
rrrrrr（3）向量的正交分解：当e1,e2时，就说a?λ1e1?λ2e2为对向量a的正交分解．
举例3 （1）若a?(1,1)，b?(1,?1)，c?(?1,2)，则c? . 结果：a?b.
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B
rrrrrrrr13?A.e1?(0,0)，e2?(1,?2) B.e1?(?1,2)，e2?(5,7) C.e1?(3,5)，e2?(6,10) D.e1?(2,?3)，e2???,??
rrrr1r23r2?24?uuuruuuruuurruuurruuurrr（3）已知AD,BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线,且AD?a，BE?b,则BC可用向量a,b表示为 . 结果：2r4ra?b. 33uuuruuuruuuruuuruuur（4）已知△ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s?的值是 . 结果：0.
四、实数与向量的积
rr实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：
rr（1）模：|?a|?|?|?|a|；
rrrr（2）方向：当??0时，?a的方向与a的方向相同，当??0时，?a的方向与a的方向相
1
rr反，当??0时，?a?0，
注意：?a?0.
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五、平面向量的数量积
uuurruuurrrr1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?a，OB?b，则把?AOB??(0????)称
rr为向量a，b的夹角.
rrr?rrr??当??0时，a，b同向；当???时，a，b反向；当时，a，b垂直.
2rrrr2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量|a||b|cos?rrrrrrrr叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b?|a|?|b|cos?.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
uuuruuuruuuruuuruuur举例4 （1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________. 结果：?9.
r?rrrrrrrrr1?1??（2）已知a???1,?，b??0,??，c?a?kb，d?a?b，c与d的夹角为，则k? ____. 结果：1.
2?4??2?rrrrrr（3）已知|a|?2，|b|?5，a?b??3，则|a?b|?____. 结果：23. rrrrrrrrr（4）已知a,b是两个非零向量，且|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为____. 结果：30o.
rrr3.向量b在向量a上的投影：|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0.
rrrrrr12举例5 已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______. 结果：.
rrrrrrrr4.a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.
rr5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
rrrr（1）a?b?a?b?0；
rrrrrrrrrrrr（2）当a、b同向时，a?b?|a|?|b|，特别地，a2?a?a?|a|2?|a|?a2；
rrrrrra?b?|a|?|b|是a、b同向的充要分条件；
rrrrrrrrrrrr当a、b反向时，a?b??|a|?|b|，a?b??|a|?|b|是a、b反向的充要分条件；
rrrrrr当?为锐角时，a?b?0，且a、b不同向，a?b?0是?为锐角的必要不充分条件；
rrrrrr当?为钝角时，a?b?0，且a、b不反向；a?b?0是?为钝角的必要不充分条件.
rrrrrrra?br（3）非零向量a，b夹角?的计算公式：cos??rr；④a?b?|a||b|.
|a||b|rrrr4举例6 （1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______. 结果：???或??0且
53??；
uuuruuur???13，则OF，FQ夹角?的取值范围是_________. 结果：? ?S??,?；22?43?rrrrrr（3）已知a?(cosx,sinx)，b?(cosy,siny)，且满足|ka?b|?3|a?kb|（其中k?0）.
rrrrrrrrk2?11①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小. 结果：①a?b?(k?0)；②最小值为，
4k213（2）已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若
uuuruuur??60o.
六、向量的运算
1.几何运算 （1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
ruuurruuurruuuruuuruuurrrruuur运算形式：若AB?a，BC?b，则向量AC叫做a与b的和，即a?b?AB?BC?AC； 作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
2
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（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
uuurruuurrruuuruuurrruuu运算形式：若AB?a，AC?b，则a?b?AB?AC?CA，即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuur举例7 （1）化简：①AB?BC?CD? ；②AB?AD?DC? ；③(AB?CD)?(AC?BD)? . 结果：①AD；uuurr②CB；③0；
uuurruuurruuurrrrr（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则|a?b?c|? . 结果：22；
（3）若O是△ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则△ABC的形状为. 结果：直角三角形；
uuuruuuruuuruuurr|AP|r??，则?的值为 . （4）若D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，设uuu|PD|uuuruuuruuuruuuruuur结果：2；
uuuruuuruuurr（5）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为 . 结果：120o.
rr2.坐标运算：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则
uuuruuurrrrr（1）向量的加减法运算：a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).
举例8 （1）已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当??____时，点P在第一、三象限的角平分线上. 结果：
1； 2uuurr1uuu????AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? .结果：或?； 22262uuruuruuruuruuruuruur(9,1). （3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4)，F2?(2,?5)，F3?(3,1)，则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是 . 结果：
（2）已知A(2,3)，B(1,4)，且
r（2）实数与向量的积：?a??(x1,y1)?(?x1,?y1).
uuur（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向
量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
uuuruuuruuur1uuur11举例9 设A(2,3)，B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C,D的坐标分别是__________. 结果：(1,),(?7,9).
rr（4）平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2.
举例10 已知向量a?(sinx,cosx)，b?(sinx,sinx)，c?(?1,0). （1）若x?
?3
r33rr，求向量a、c的夹角；
rr3??11（1）150o；（2）或?2?1. ,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值.结果：
8422rr（2）若x?[?（5）向量的模：a2?|a|2?x2?y2?|a|?x2?y2. 举例11 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a?3b|?＝ . 结果：13. rrrrrrr（6）两点间的距离：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2. 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60o，平面上任一点P关于斜坐标系
uuurrrrr的斜坐标是这样定义的：若OP?xe1?ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单 位向量，则P点斜坐标为(x,y).
（1）若点P的斜坐标为(2,?2)，求P到O的距离|PO|； （2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程. 结果：（1）2；（2）x2?y2?xy?1?0.
Oy 60o x 七、向量的运算律
rrrrrrrrrr1.交换律：a?b?b?a，?(?a)?(??)a，a?b?b?a；
rrrrrrrrrr2.结合律：a?b?c?(a?b)?c，a?b?c?a?(b?c)，(?a)b??(a?b)?a?(?b)；
rrrrrrrrrrrrrr3.分配律：(???)a??a??a，?(a?b)??a??b，(a?b)?c?a?c?b?c.
举例13 给出下列命题：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)2?|a|2?2|a||b|?|b|2；
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr 3
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rrrrrrrr2r2rrrrrrrrrrrrrrrrrra?bb④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b则a?c；⑥|a|?a；⑦r2?r；⑧(a?b)2?a2?b2；⑨(a?b)2?a2?2a?b?b2.
aa其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
rrrrrr（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a?(b?c)?(a?b)?c，为什么？
八、向量平行(共线)的充要条件
rrrrrrrra//b?a?b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2?0.
uuuruuuruuurrrrr举例14 (1)若向量a?(x,1)，b?(4,x)，当x?_____时，a与b共线且方向相同. 结果：2.
rrrrrrrrrr（2）已知a?(1,1)，b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x? . 结果：4.
（3）设PA?(k,12)，PB?(4,5)，PC?(10,k)，则k? _____时，A,B,C共线. 结果：?2或11.
九、向量垂直的充要条件
rrrrrrrra?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.
uuuruuuruuuruuur?ABAC??ABAC?uuuruuur??uuuruuur. 特别地??|AB|?|AC|???|AB|?|AC|??????uuuruuuruuuruuur3举例15 (1)已知OA?(?1,2)，OB?(3,m)，若OA?OB，则m? .结果：m?；
2（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点B的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））； （3）已知n?(a,b)向量n?m，且|n|?|m|，则m?的坐标是 .结果：(b,?a)或(?b,a).
rrrrrr十、线段的定比分点
uuuruuurPP??PP2，1.定义：设点P是直线PP上异于、的任意一点，若存在一个实数 ，使PP2?1121uuuuruuuur则实数?叫做点P分有向线段P1P2所成的比?，P点叫做有向线段P1P2的以定比为?的定比分
点.
2.?的符号与分点P的位置之间的关系
uuuur（1）P内分线段P1P2，即点P在线段PP12上???0；
uuuurP在线段PP（2）P外分线段P1P2时，①点P在线段PP12的延长线上????1，②点12的反
向延长线上??1???0.
uuuuruuuur注：若点P分有向线段PP所成的比为?，则点P分有向线段PP所成的比为1.
1221?uuuruuur37举例16 若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比为 . 结果：?.
433.线段的定比分点坐标公式：
设P1P2所成的比为?，则定比分点坐标公式为1(x1,y1)，P2(x2,y2)，点P(x,y)分有向线段P?x?????y???x1??x2,1??(???1). y1??y2.1??uuuurx1?x2?x?,??2特别地，当??1时，就得到线段PP 12的中点坐标公式?y?y2?y?1.??2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比?. 举例17 （1）若M(?3,?2)，N(6,?1)，且MP??MN，则点P的坐标为 . 结果：(?6,?)； （2）已知A(a,0)，B(3,2?a)，直线y?ax与线段AB交于M，且AM?2MB，则a? . 结果：２或?4.
12uuuuruuuurruuuurr1uuuu373 4
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十一、平移公式
rrx??x?h,如果点P(x,y)按向量a?(h,k)平移至P(x?,y?)，则?；曲线按向量f(x,y)?0a?(h,k)??y??y?k.平移得曲线f(x?h,y?k)?0.
说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
rr举例18 （1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______. 结果：(?8,3)；
rr?（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a?________. 结果：(?,1).
4十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
rrrrrr2.模的性质：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.
rrrrrrrrr（1）右边等号成立条件：a、 b同向或a、 b中有0?|a?b|?|a|?|b|；
rrrrrrrrr（2）左边等号成立条件：a、 b反向或a、 b中有0?|a?b|?|a|?|b|；
rrrrrrrr（3）当a、 b不共线?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|.
3.三角形重心公式
在△ABC中，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则其重心的坐标为G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3324???举例19 若△ABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(?3,4)、C(?1,?1)，则△ABC的重心的坐标为 .结果：???,?. 335.三角形“三心”的向量表示
uuuruuuruuurruuur1uuuruuuruuur（1）PG?(PA?PB?PC)?G为△ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?G为△ABC的
3重心.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为△ABC的垂心.
uuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur?ABAC?uuuuruuuur??（3）|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为△ABC的内心；向量???|AB||AC?(??0)所|??在直线过△ABC的内心.
uuuur6.点P分有向线段P1P2所成的比?向量形式
uuuuruuuuruuuuruuurMP??MP2设点P分有向线段P1P2所成的比为?，若M为平面内的任一点，则MP?1，
1??uuuuruuuuruuuuruuurMP?MP2特别地P为有向线段P1P2的中点?MP?1.
2uuuruuuruuuruuuruuuruuur?7. 向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线存在实数?,?，使得PA??PB??PC且
????1．
?1??2?1,则点C的轨迹是 . 结果：直线AB.
举例20 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(?1,3)，若点C满足OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且
uuuruuuruuur
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(完整版)平面向量知识点总结
