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<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳
一、基础知识整合
1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：
（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。 （2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。 二、求函数定义域
（一）求函数定义域的情形和方法总结
1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总：
①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；
②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）
⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.
2（f(x)?logx(x?1)）
注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形
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2如：f(x)?x)
x2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围； （2）在同一个题中x不是同一个x；
（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。 解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]） ∴0?x?1?2 ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变） ∴f(2x-1)中
0?2x?1?2
∴?13?x? 22??1?x?23?? 2?∴f(2x-1)的定义域为?x|?3.复合函数定义域
复合函数形如：y?f(g(x)),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例2：
若函数f(x)的定义域为(?2,3),g(x)?f(x?1)?f(x?2),求g(x)的定义域。
分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。
解：由f(x)的定义域为（-2,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；
??3?x?2，解得0 范文.范例.指导.参考 完美WORD格式 （二）求定义域的典型题 1.已知函数解析式 （1）求下列函数的定义域 1(1)f(x)?x?4?;(2)f(x)?(x?1)0?x?31x2?1;(3)f(x)?;x?1x?2?311(4)f(x)?(x?1)x?2;(5)f(x)?log(2x?3)(x2?);(6)f(x)??x2?1.42?x（2）求下列函数的定义域 lg(x?2)1?2x(1)f(x)?;(2)f(x)?;1x?1x?2 x?11(3)f(x)?;(4)f(x)?1?log1x6?x?x22(3)与函数定义域有关的问题题 ①若函数f(x)?x?4的定义域为R，求实数m的取值范围。 22x?(2m?1)x?m②函数y?kx2?2kx?k?6的定义域为R，求k的取值范围。 ③函数f(x)?mx2?6mx?m?8的定义域为R，求m的取值范围。 2.求抽象数定义域 ①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求f(x?1)的定义域。 ②若数f(x)的定义域为[0,2],求函数g(x)?12f(2x)的定义域。 x?11的 3x?7③若数f(x?1)的定义域为[-1,2],求函数g(x)?f(x?2)?定义域。 ④若函数f(x)的定义域为[0,1],g(x)?f(x?a)?f(x?a),(a?)， 求函数g(x)的定义域。 12 范文.范例.指导.参考 完美WORD格式 ⑤若f(x)?loga(x?1),g(x)?loga(1?x)，(a?0,且a?1)，令 F（x）=f(x)-g(x),求F（x）的定义域。 二、求函数值域 （一）求函数值域方法和情形总结 1.直接观察法（利用函数图象） 一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。 2.配方法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。 例1：求f(x)?x?4x?6在[1,5]上的值域. 解：配方：f(x)?(x?2)?2 f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间 22ymin?f(2)?2 （端点5离x=2距离较远，此时为最大值） ymax?f(5)?11 所以，f(x)的值域为[2,11]. 3.分式型 （1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为y?a?例2：求f(x)?d。 bx?c5x?1的值域. 4x?2510(4x?2)?1?5x?1474?5??解：f(x)? 4x?24x?242(4x?2) 范文.范例.指导.参考 完美WORD格式 由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到即：函数f(x)的值域为{y|y?}. 5， 454跟踪练习：已知f(x)?ax2?4(a?1)x?3(x??0,2?)在x=2处有最大值， 求a的取值范围.?,??? （2）利用x2?0来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现x2形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。 ?1?2??3x2?1例3：求函数f(x)?2的值域. x?2解：由于x2?2不等于0，可将原式化为 yx?2y?3x?1 即 (y?3)x??1?2y（由于x2?0） 只需y?3,则有 x2?222?1?2y?0 (y?3)(?1?2y)?0 y?3所以，函数值域y????1?,3?. ?2? （3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现x2混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。 例4：求函数y?2x的值域 2x?1 范文.范例.指导.参考
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