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2024全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）
1.设三个复数1，i，z在复平面上对应的三点共线，且z?5，则z? ． 2.设n是正整数，且满足n?438427732293，则n? ． 3.函数f?x??sin?2x??sin?3x??sin?4x?的最小正周期= ．
4.设点P，Q分别在函数y?2x和y?log2x的图象上，则PQ的最小值= ． 5.从1,2,?,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s?1的概率= ． 6.在边长为1的正方体ABCD?A1BC11D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值= ．
25????????????H?ABC7.设是的垂心，且3HA?4HB?5HC?0，则cos?AHB? ．
8.把1,2,?,n按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是1,2,?,n.例如：
2?123??.设2024在T的第i行第j列，则
T3??894?i,j?? ． 100????765??
二、解答题 （本大题共4小题，共86分.
9. 如图所示，设ABCD是矩形，点E，F分别是线段AD，BC的中点，点G在线段EF上，点D，H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证：
?HAB?3?GAB.
x2y210. 设O是坐标原点，双曲线C:2?2?1上动点M处的切线交C的两条渐近线于A，
abB两点.
（1）求证：?AOB的面积S是定值； （2）求?AOB的外心P的轨迹方程.
11. （1）求证：对于任意实数x，y，z都有x2?2y2?3z2?3?xy?yz?zx?. （2）是否存在实数k?3，使得对于任意实数x，y，z下式恒成立？
x2?2y2?3z2?k?xy?yz?zx?
试证明你的结论.
12. 在正2024边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
2024全国高中数学联赛安徽省初赛答案
一、填空题
1.4?3i或?3?4i
2.213
3.2? 4.1?ln?ln2?2 ln25.
1 156.
4?6 57.?6 68.?34,95?
二、解答题
9.解：由E，F分别是AD，BC的中点，得EF//AB?AD.
设P是E关于l的对称点，则EP//AG?l，故四边形AEPG是等腰梯形. 进而?PAG??EGA??GAB，?APG??GEA，从而AP?HG. 再由HP?DE?EA?PG，得?HAP??PAG??GAB. 因此?HAB?3?GAB.
10.解：（1）M?x0,y0?处的切线方程
??与渐近线方程联立，得A?x1,y1????????a?b?B?x2,y2???,?.
xyxy?0?00?0??abab?1从而，S?x1y2?x2y1?ab是定值.
2（2）由（1）可设A??a,?b?，B?x0xy0y?2?1. a2b?ab?，,x0y0x0y0????abab??ab?,??，P?x,y?，?为非零常数. ????22由PA?PO?PB，得?x??a???y??b?a??b???x2?y2??x????y??.
??????2212a?b2?. ?2?12222222上述两式相乘，得P的轨迹方程为ax?by??a?b?.
4从而有ax?by???a22?b2?，ax?by?
11.解：（1）由均值不等式，x?122321313y?3xy，x2?z2?3xz，y2?z2?3yz. 22222故x2?2y2?3z2?3?xy?yz?zx?. （2）
?kk??k2?2?k2?2?k2?222x?2y?3z?k?xy?yz?zx???x?y?z???2??y??3??z???k?yz22??4?4????2?
2?k2??k2??k2?k?0且??k??4?2???3??. 上式?0恒成立当且仅当2?4??4?4?2??22化简得k?22且k?6k?24?0.显然，k?2?3满足要求.
12.设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，xi是以第i个顶点为端点的红色线段数目，则有
32M?N?C32024，
2024i?1?x?2017?x??2M.
ii33当且仅当每个xi?1008或1009时，N取得最小值C2024. ?10092?1008?2C10093是可以取到的，例如把线段i?i?jmod2024?1?i?2024,1?j?504?染成N?2C1009红色，其它线段染成蓝色.
2024年全国高中数学联赛安徽预赛试题及详解
