考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )
A．△z=dz。
B．△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。 C．△z=fx’(x0，y0)dx+fy’(x0，y0)dy。 D．△z=dz+o(ρ)。
正确答案：D
解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D。 知识模块：多元函数微积分学
2． 设函数z(x，y)由方程=0确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则=( ) A．x。 B．z。 C．一x。 D．一z。
正确答案：B
解析：对已知的等式两边求全微分可得即正确选项为B。 知识模块：多元函数微积分学
3． 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )。
A．f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。 B．f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。 C．f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。 D．f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。
正确答案：A
解析：由z=f(x)g(y)，得而且=f(0)g’(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0，当f’’(0)＜0，g’’(0)＞0时，B2一AC＜0，且A＞0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值。因此正确选项为A。 知识模块：多元函数微积分学
4． 设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，则( )
A．I1＜I2＜I3。
B．I3＜I1＜I2。 C．I1＜I3＜I2。 D．I3＜I2＜I1。
正确答案：C
解析：显然在D上≤x+y≤1，则ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有故选C。 知识模块：多元函数微积分学
5． 设函数f(x，y)连续，则二次积分∫sinx1f(x，y)dy等于( ) A．∫01dy∫π＋arcsinyπf(x，y)dx。 B．∫01dy∫π－arcsinyπf(x，y)dx。 C．∫01dy∫π＋arcsinyf(x，y)dx。 D．∫01dy∫π－arcsinyf(x，y)dx。
正确答案：B
解析：由题设可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B。 知识模块：多元函数微积分学
6． 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’’(2)等于( ) A．2f(2)。 B．f(2)。 C．一f(2)。 D．0。
正确答案：B
解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x－1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)。故选B。 知识模块：多元函数微积分学
7． 设函数f(t)连续，则二重积分dθ∫2cosθ2f(r2)rdr=( ) A． B． C． D．
正确答案：B
解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=f(x2+y2)dy。 知识模块：多元函数微积分学
8． 设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函
数，a，b为常数，则dσ=( )
A．abπ。 B．π。
C．(a+b)π。 D．π。
正确答案：D
解析：由根据轮换对称性可得因此正确选项为D。 知识模块：多元函数微积分学
填空题
9． 设二元函数z=xex＋y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1，0)=________。
正确答案：2edx+(e+2)dy
解析：由已知=ex＋y+xex＋y+ln(1+y)，dz｜(1，0)=2edx+(e+2)dy。 知识模块：多元函数微积分学
10． 设z=(x+ey)x，则=________。
正确答案：2ln2+1
解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，则代入x=1得，=2ln2+1。 知识模块：多元函数微积分学
11． 设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则=________。
正确答案：2—2ln2
解析：把点(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数，有(z+y)x[ln(z+y)+]=y。将x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得=2—2ln2。 知识模块：多元函数微积分学
12． 设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二阶连续导数，则=________。
正确答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)
解析：由题干可知，=g(x+y)+xg’(x+y)+y2φ’(xy)，=g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)。 知识模块：多元函数微积分学
13． 积分∫02dx∫x2e－y2dy=_________。
正确答案：(1一e－4) 解析：如图1—4—10积分区域，则∫02dx∫x2e－y2dy=∫02dy∫0ye－y2dx=∫02ye－y2dy=。 知识模块：多元函数微积分学
14． 将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分为________。
考研数学二(多元函数积分学)模拟试卷22(题后含答案及解析)
