决胜2024中考数学压轴题全揭秘精品 专题10 三角形问题
【典例分析】
【考点1】三角形基础知识
【例1】 （2024·浙江中考真题）若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．8
【变式1-1】（2024·北京中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结
果保留一位小数）
【变式1-2】（2024·山东中考真题）把一块含有45?角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角
顶点在直尺的一条长边上)．若?1?23?，则?2?_______?．
【考点2】全等三角形的判定与性质的应用
【例2】（2024·山东中考真题）在?ABC中，?BAC?90?，AB?AC，AD?BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且?BMN?90?，当∠AMN?30?，AB?2时，求线段AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且?EDF?90?，求证：BE?AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且?BMN?90?，求证：AB?AN? 2AM．
【变式2-1】（2024·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，
若AE是?BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证?AEB≌?FEC得到AB?FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是?BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【变式2-2】（2024·广西中考真题）如图，AB?AD,BC?DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分?BAD；（2）求证：BE?DE． 【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用
【例3】（2024·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AC ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：?APC2?B； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若?AQC3?B，求DB的度数. 【变式3-1】（2024·辽宁中考真题）如图，?ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD?AC，连接 AD．若AB?2，则AD的长为_____． 【变式3-2】（2024·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为 EF，DG，得到?BDE?60?，?BED?90?，若DE?2，则FG的长为_____． 【考点4】直角三角形的性质 【例4】（2024·宁夏中考真题）如图，在Rt?ABC中，?C?900，以顶点B为圆心，适当长度为半径画 弧，分别交AB,BC于点M,N，再分别以点M,N为圆心，大于 1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线BP交AC于点D．若?A?30o，则 S?BCD?_____． S?ABD 【变式4-1】（2024·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC，?ACB?90o，AB?10，AC?6， 点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当?BDE是直角三角形时，则CD的长为_____． 【变式4-2】（2024·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的 坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地． （1）A，B间的距离为______km； （2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km． 【考点5】相似三角形的判定与性质的应用 【例5】（2024·四川中考真题）如图，?ABD??BCD?90?，DB平分∠ADC，过点B作BM‖CD交 AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：BD2?AD?CD；（2）若CD?6，AD?8，求MN的长． 【变式5-1】（2024·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的 点，且∠APD=∠B, （1）求证：AC?CD=CP?BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 【变式5-2】（2024·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化 主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标 杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB． 【考点6】锐角三角函数及其应用 【例6】（2024·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD 的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
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