2021年金属晶体四类晶胞空间利用率的计算

*欧阳光明*创编 2021.03.07

金属晶体四类晶胞空间利用率的计算

欧阳光明（2021.03.07）

高二化学·唐金圣

在新课标人教版化学选修3《金属晶体》一节中，给出了金属晶体四种聚积方法的晶胞空间利用率。空间利用率就是晶胞上占有的金属原子的体积与晶胞体积之比。下面就金属晶体的四种聚积方法计算晶胞的空间利用率。

一、简单立方聚积：

在简单立方聚积的晶胞中，晶胞边长a即是金属原子半径r的2倍，晶胞的体积V晶胞=(2r)3 。晶胞上占有1个金属原子，金属原子的体积V原子=4πr3/3 ，所以空间利用率V原子/V晶胞 =4πr3/ （3×(2r)3）=52.33﹪ 。

二、体心立方聚积：

在体心立方聚积的晶胞中，体对角线上的三个原子相切，体对角线长度即是原子半径的4倍。假定晶胞边长为a ，则a2 + 2a2 = (4r)2， a=4 r/√3 ，晶胞体积V晶胞=64r3/ 3√3 。体心聚积的晶胞上占有的原子个数为2，原子占有的体积为V原子=2×（4πr3/3） 。 晶胞的空间利用率即是V原子/V晶胞 =（2×4πr3×3√3）（/3×64r3）=67.98﹪ 。

三、面心立方最密聚积

在面心立方最密聚积的晶胞中，面对角线长度是原子半径的4

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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倍。假定晶胞边长为a,则a2 + a2 = (4r)2 ,a = 2√2r ,晶胞体积V晶胞=16√2r3 。面心立方聚积的晶胞上占有的原子数为4，原子占有的体积为V原子 = 4×（4πr3/3） 。晶胞的空间利用率即是V原子/V晶胞 =（4×4πr3）/(3×16√2r3)= 74.02﹪.

四、六方最密聚积

六方最密聚积的晶胞不再是立方结构。晶胞上、下两个底面为紧密聚积的四个原子中心连成的菱形，边长a = 2r ,夹角辨别为60°、120°，底面积s = 2r×2r×sin(60°) 。晶胞的高h的计算是关键，也是晶胞结构中最难理解的。在晶胞的上、下两层紧密聚积的四个原子中，各有两个凹穴，中间层的原子在上、下两层正对的凹穴中。中间层的原子和上层形成凹穴的三个原子构成一个正四面体；和下层对应的三个原子也构成一个正四面体，这两个正四面体的高之和就是晶胞的高。正四面体的边长为2r,正四面体的高h 1 = 2√2r/√3 。晶胞的高为h = 4√2r/√3，晶胞的体积V晶胞 =(2r×2r×sin(60°)×4√2r)/√3 = 8√2r3 。六方最密聚积的晶胞上占有2个原子，原子的体积V原子 = 2×（4πr3/3） 。晶胞的空间利用率为V原子/V晶胞 = （2×4πr3）/（3×8√2r3 ） = 74.02﹪.

*欧阳光明*创编 2021.03.07