离散数学图论部分经典试题和答案

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离散数学图论部分综合练习

一、单项选择题

1．设图G的邻接矩阵为

?01?10? ?10??01??01100?011??000?

?001?010??

则G的边数为( )．

A．6 B．5 C．4 D．3

2．已知图G的邻接矩阵为

，

则G有（ ）．

A．5点，8边 B．6点，7边 C．6点，8边 D．5点，7边

3．设图G＝，则下列结论成立的是 ( )．

A．deg(V)=2?E? B．deg(V)=?E? C．?deg(v)?2E D．?deg(v)?E

v?Vv?Va ? d? ? c

图一

b ? ? f

?e

4．图G如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集

5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A．e是割点 B．{a, e}是点割集 C．{b, e}是点割集 D．{d}是点割集

6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．

)} 是边割集 图二 A．{(a, e)}是割边 B．{(a, eC．{(a, e) ,(b, c)}是边割集 D．{(d, e)}是边割集

..........

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图三

7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．

图四

A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的 应该填写：D

8．设完全图Kn有n个结点(n≥2)，m条边，当（ ）时，Kn中存在欧拉回路．

A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数 9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．

A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 10．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )． A．G中所有结点的度数全为偶数 B．G中至多有两个奇数度结点 C．G连通且所有结点的度数全为偶数 D．G连通且至多有两个奇数度结点

11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．

A．m?n?1 B．m?n C．m?n?1 D．n?m?1 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．

A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路．

二、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结

b a?点，则G的边数是 ． ?

2．设给定图G(如图四所示)，则图G的点割

f ? ..........

? c ?d

e ? 图四

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集是 ．

3．若图G=中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点

数|S|与W满足的关系式为 ．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通 且 ．

5．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度

6．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 时，Kn中存在欧拉回路．

7．设G是连通平面图，v, e, r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式 ．

8．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v与边数e满足 关系的无向连通图就是树．

10．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树．

11．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为 ．

12．设G＝是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去 条边，可以确定图G的一棵生成树．

13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．

三、判断说明题 1．如图六所示的图G存在一条欧拉回路．

v4 v5 d e g v1 n c f h a v3 b v2 图六

2．给定两个图G1，G2（如图七所示）：

（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．

..........

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v1

v6

v4

v5

v2

v3

v1 ?

v? 2

? v3

? v5

图八

? v4

图七

3．判别图G(如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．

4．设G是一个有6个结点14条边的连 通图，则G为平面图．

四、计算题

1．设图G??V，E?，其中V??a1, a2, a3, a4, a5?,

v6 ? E???a1, a2?，?a2, a4?，?a3, a1?，?a4, a5?，?a5, a2??

（1）试给出G的图形表示； （2）求G的邻接矩阵；

（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？

2．设图G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1, v2)，(v1, v3)，(v2, v3)，(v2, v4)，(v3, v4)，(v3, v5)，(v4, v5) }，试

（1）画出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；

（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G的补图的图形．

3．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

（1）给出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形．

4．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。 6．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试

（1）画出相应的最优二元树； （2）计算它们的权值． 7．给出右边所示二元有序树的

三种遍历结果．

..........

a b d e c f i g h . . .

五、证明题

1．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的． 2．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

3．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图．

参考解答

一、单项选择题

1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．D 8．C 9．A 10．D 11．A 12．A

二、填空题

1．15 2．{f}，{c，e} 3．W?|S| 4．所有结点的度数全为偶数 5．等于出度 6．n为奇数 7．v-e+r =2 8．3 9．e=v-1 10．4 11．5

12．3 13．0

三、判断说明题

1．解：正确．

因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数． 2．解：（1）图G1是欧拉图． 因为图G1中每个结点的度数都是偶数．

图G2是汉密尔顿图．

因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）：

a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a 问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。

（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：

k条边才能2v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v1 3．解：图G是平面图．

v6 ? ..........

v1 ? v? 2

? v3

? v

? v4