解得[x]?2或[x]?6或7或8,分别代入方程得:29;21894x2?189?0,x?;22294x2?229?0,x?;22694x2?269?0,x?.24x2?29?0,x?经检验知，这四个值都是原方程的解. 例6：x?R?,n?N,证明:[nx]??
[x][2x][3x][nx]?????. 123n（第10届美国数学竞赛试题）
这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】令Ak?[x]?[2x][kx]???,k?1,2,?. 2k由于A1?[x],则n?1时,命题成立.
设n?k?1时命题成立,即有A1?[x],A2?[2x],?,Ak?1?[(k?1)x].因为,[kx],即kAk?kAk?1?[kx]对一切k成立,所以kAk?kAk?1?[kx],(k?1)kAk?1?(k?1)Ak?2?[(k?1)x],?,2A2?2A1?[2x],A1?[x].相加得:Ak?Ak?1?kAk?(A1?A2???Ak?1)?[x]?[2x]???[(k?1)x]?[kx]故kAk?[x]?[2x]???[(k?1)x]?[kx]?Ak?1?Ak?2???A2?A1?[x]?[2x]???[(k?1)x]?[kx]?[(k?1)x]?[(k?2)x]???[2x]?[x]?([x]?[(k?1)x]?([2x]?[(k?2)x])???([(k?1)x]?[x])?[kx]?[kx]?[kx]??[kx]?[kx]?k[kx]?Ak?[kx],即n?k时,命题成立,故原不等式对一切n?N?均成立,证毕.例7：对自然数n及一切自然数x，求证：
12n?1[x]?[x?]?[x?]???[x?]?[nx].(苏联数学竞赛题)
nnn【证明】x?[x]?{x},则
12n?1[x]?[x?]?[x?]???[x?]
nnn12n?1?[[x]?{x}]?[[x]?{x}?]?[[x]?{x}?]???[[x]?{x}?]nnn12n?1?[x]?[{x}]?[x]?[{x}?]?[x]?[{x}?]???[x]?[{x}?],nnn12n?1?n[x]?[{x}]?[{x}?]?[{x}?]???[{x}?].nnn[nx]?[n[x]?n{x}]?n[x]?[n{x}],故只要证明12n?1[{x}]?[{x}?]?[{x}?]???[{x}?]?[n{x}]即可.nnnkk?1设存在k,1?k?n,使{x}??1,而{x}??1,则nn12k?1kn?1[{x}]?[{x}?]?[{x}?]???[{x}?]?[{x}?]???[{x}?]?n?k.nnnnnkk?1由{x}??1及{x}??1知n{x}?n?k,且n{x}?n?k?1.故知[n{x}]?n?k.知nn12n?1[{x}]?[{x}?]?[{x}?]???[{x}?]?[n{x}].从而有nnn 12n?1[x]?[x?]?[x?]???[x?]?[nx].nnn1020000]的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题） 例8：求出[10010?31020000【解】先找出100的整数部分与分数部分.
10?31020000(10100)200?32003200?100= 10010010?310?310?3(10100)200?3200?[(10100)2]100?(32)100,知(10100)2?32|1020000?3200又10100?3|(10100)2?32,1020000?3200知10100?3是整数.32009100显然100?100?1,10?310?31020000102000?32001020000?91001020000?8150知[100]???.10010010010?310?310?310?3其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.
数学竞赛辅导讲座_高斯函数
