椭圆的定义及几何性质
考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用，难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。
预计2015考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。 题型一：椭圆的定义及其应用 1、判断轨迹：
例：已知F1,F2是定点，动点M满足|MF1|?|MF2|?8，且|F1F2|?8则点M的轨迹为（ ） A．椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 分析：紧扣椭圆的定义。
解：由题意得|MF1|?|MF2|?8，且|F1F2|?8则|MF1|?|MF2|?|F1F2|?8 所以点M的轨迹为线段F1F2。 点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项
(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．
(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 变式：
x2y2??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A,B两点．若1 已知F1、F2为椭圆
259F2A?F2B?12，则AB? ．
【知识点】椭圆的定义
解：因为F2A?F2B+AB?4a=20，F2A?F2B?12，所以AB=8.
【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答. 2、利用定义
x2y2x22
例：已知椭圆＋＝1与双曲线－y＝1的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，
6231113
则cos∠F1PF2的值为( )．A. B. C. D. 4395 [审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．
B [因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|＋|PF2|＝2 6，|PF1|－|PF2|＝2 3. 设|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－3，
1
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2?6＋3?2＋?6－3?2－161
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.]
2|PF1||PF2|32?6＋3??6－3?方法锦囊： 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离． 变式：
x2y2
1、(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的
ab→→
一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
→→
[审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1⊥PF2，进而得解．
→→
解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2，
11
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9. ∴b＝3.答案 3
22
方法总结： 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． x22
2、 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )．A．23 B．6C．43 D．12 解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为4a＝43(F是椭圆的另外一个焦点)．答案 C
3、已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，
169
若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选A由椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
x2y2
x2y2??1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A(x1,y1)B(x2,y2)两4、已知F1，F2是椭圆
2516510205点，△AF1B的内切圆的周长为?，则|y1?y2|为( ) A. B. C. D.
333312解析：选A由椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝20，S??r???r?
211115|y1?y2|? △AF1B的面积为S，S?4ar?20r?2c|y1?y2|?6|y1?y2|,?222233、转化定义
x2y2y22
例：设椭圆＋＝1和双曲线－x＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个
2m3交点，则|PF1|·|PF2|的值等于________．
2
解析：焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|＋|PF2|＝26，||PF1|－|PF2||＝23两式平方相减得4|PF1||PF2|＝4×3， |PF1|·|PF2|＝3. 知识总结：要深刻理解椭圆的定义，其定义是由椭圆上得点到焦点的距离来刻画的，只要涉及椭圆上的点到焦点（定点）的距离时多考虑椭圆的定义。 变式练习：
1.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)＋y＝1和圆(x－3)＋y＝4上
2516
的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7 C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10， 从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
2. 设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，
2516
则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋(6?3)?4＝15.
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
3. 已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)＋y＝1和圆(x－3)＋y＝4
2516
上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5 B．7 C．13 D．15 解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 题型二:椭圆的标准方程和性质
例：[例1] (1)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等1x2y2x2y2x2y2x2y2
于，则C的方程是( )A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 234442433(2)(2014·岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴
2
上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C2
的方程为________．
1c1222
解： (1)由右焦点为F(1,0)，可知c＝1，因为离心率为，即＝，故a＝2，由a＝b＋c，
2a2知b＝a－c＝3，因此椭圆C的方程为＋＝1.
43(2)由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又知离心率为
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
2222
x2y2
22x2y2
2222
x2y2
2c22
，即＝，c＝a＝22，所2a22
以a＝16，b＝a－c＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1. 168
【互动探究】
在本例(2)中若将条件“焦点在x轴上”去掉，结果如何？ 解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为
x2y2
x2
16
＋＝1；当焦点在y轴上时，椭圆8
y2
3
的方程为＋＝1.综上可知C的方程为＋＝1或＋＝1.
168168816
【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
(1)作判断：由条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
y2x2x2y2x2y2
x2y2x2y222
(2)设方程：根据上述判断设方程2＋2＝1(a>b>0)，2＋2＝1(a>b>0)或mx＋ny＝1(m>0，
abban>0)．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，
22
可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx＋ny＝1(m>0，n>0)． 变式练习
1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过A（3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程_____
解：法一：分类讨论焦点的位置求解。
x2y2??1(m?0,n?0,m?n). 法二：设椭圆的方程为：
mn?9?9?1?m?9?m?9???1mm由题得：?解得：? 或?或?n?1n?81???2m?32n?2n?32m??x2x2y22?y?1或??1 所以椭圆的方程为：9819x2y23
2.(2012·山东)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭
ab2圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( ) x2y2
A.＋＝1 82
x2y2x2y2
B.＋＝1 C.＋＝1 126164
x2y2
D.＋＝1 205
a2－b23c3
解析：∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
2aa2∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0， ∴渐近线x±y＝0与椭圆
x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为
?2525????5b,5b?， ??2525∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
55∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆
x2y2
C的方程为＋＝1.
205
点评：已知椭圆的性质求标准方程的步骤：一确定焦点位置即椭圆的方程的形式；二建立a,b,c的方程关系求其值；三写出标准方程。 题型三：椭圆的重要性质------离心率
椭圆离心率的求解是高考的一个热点，分离心率的值的求解和取值范围的求解。特别是离心
4
率的取值范围的求解更是一个难点。 1、离心率的值的求解
求解时若方程给定分别求a,b,c;若不知方程构建a,c的齐次式两边同时除以a得e的方程，以此解e。
x2y2
示例：如图A、B、C分别为2＋2＝1 (a＞b＞0)的顶点与焦点，
ab若∠ABC=90°，则该椭圆的离心率为( ) A.
－1＋522
B．1－ C.2－1 D. 222
2
2
2
2
2
2
2
2
解析：|AB|＝a＋b，|BC|＝b＋c，|AC|＝(a＋c).
∵∠ABC＝90°，∴|AC|＝|AB|＋|BC|，即(a＋c)＝a＋2b＋c，
2
2
2
2
2
2
2
ac12222
∴2ac＝2b，即b＝ac.∴a－c＝ac.∴－＝1，即－e＝1.
cae－1±5－1＋5
解之得e＝，又∵e＞0，∴e＝.答案：A
22
点评：求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
变式
x2y2
1．把条件“A、B、C分别为2＋2＝1 (a＞b＞0)的顶点与焦点，
abx2y2若∠ABC=90°“改为“F1、F2分别为椭圆2?2?1(a?b?0)，的左、
ab右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另 一点B.若∠F1AB=90°”求椭圆的离心率； 解：若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝2c，e＝＝
ca2. 2
x2y2
2.把条件“A、B、C分别为2＋2＝1 (a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC=90°”改为“椭圆
ab通过A，B两点，它的一个焦点为点C，且AB＝AC＝1，?BAC?90，椭圆的另一个焦点在AB上”，求椭圆的离心率为________．
解析：设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直2＋2角三角形，∴1＋1＋2＝4a，则a＝，
4
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