∴原点O到直线l的距离的取值范围是?0,?214? ??7??
3x2y24.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为，过右焦点F2的直线l与
2ab椭圆C相交于A、B两点，?F1AB的周长为8.学#科网 (1)求椭圆C的方程； (2)求?F1AB面积的最大值．
【思路点拨】（1）由△F1AB的周长可得a的值，再由离心率的值可得c，由a,b,c的关系可得b的值，由此可得椭圆的方程；（2）可设A,B的坐标及直线AB的方程,则?F1AB的面积可转化为求y1?y2， 联立椭圆与直线的方程可得y1?y2，由基本不等式即可得?F1AB的面积的最大值. 【详细解析】(1)∵△F1AB的周长为8，
∴4a＝8，∴a＝2， 又椭圆C的离心率e＝＝∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题设知，直线l不能与x轴重合，故可设直线l的方程为x＝my＋由
，得(m2＋4)y2＋2
my－1＝0.
(m∈R)．
，∴c＝
，∴b2＝a2－c2＝1.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
?x2y23?C:??1a?b?05.已知椭圆，椭圆C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上??过点??1,2??a2b2??
位于x轴上方的动点，且AP?BP?4，直线AP,BP与直线y?3分别交于G,H两点． （1）求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；
（2）T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求?TPA的面积的最大值．
【思路点拨】（1）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）根据（1）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于AP的直线l与椭圆下方相切时， ?TPA的面积取最大值,求此时三角形面积即可.
【详细解析】（1）由AP?BP?4，得2a?4，所以a?2，
?3?
又椭圆过点?1,?2??，
??
所以
13?2?1，解得b?1， 44bx2?y2?1， 故椭圆C的方程为4设点P?x0,y0?，则由?GPH??APB，得
GHAB?3?y0， y0即GH23??3?3?y0?1?， ，则GH?23?y0?y0??3??1??43， ?y0?由0?y0?1，得23?所以线段GH的长度取得最小值43.
当平行于AP的直线l与椭圆下方相切时， ?TPA的面积取最大值，
设直线l:y?3x?m，则由{3x2?y2?14y?3x?m3 ，得7x2?83mx?12m2?12?0，
则??83m??2?4?712m2?12?0，所以m????2121，或m?（舍去）． 33由平行线间的距离公式，得此时点T到直线AP的距离d??21?1????3???3?2?????1??3?2?3?7. 2故?S?TPA?max?113?73?7APd??2??， 22223?7. 2即?TPA的面积的最大值为
6.已知椭圆C的离心率为33，点A， B， F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S?ABF?1?． 22（1）求椭圆C的方程；
22（2）已知直线l： y?kx?m被圆O： x?y?4所截得的弦长为23，若直线l与椭圆C交于M，
N两点，求?MON面积的最大值．
【思路点拨】（1）利用离心率可以得出a,c的关系，化为a,b的关系，再利用?ABF的面积列出a,b,c的方程，借助a2?b2?c2解出a,b，写出椭圆方程；（2）联立方程组，化为关于x的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长MN，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.
x2y2【详细解析】（1）由题意，椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为2?2?1(a?b?0)，则
abc2a2?b2322e?2??，所以，即a?2b，可得c?3b， a?4b2aa42S?ABF?113AF?OB??a?c?b?1?， 222∴
?13?23，∴b?1， a?2， 2b?3bb??1?b?1????22?2???x2?y2?1． 所以椭圆C的方程为4（2）由题意知，圆心O到直线l的距离为1，即m1?k2?1，所以m2?1?k2．
x2?y2?1, 消去y，得?1?4k2?x2?8kmx?4?m2?1??0， 由{4y?kx?m,∴??164k2?m2?1?48k2?0，所以k?0，
??4m2?4?8km设M?x1,y1?， N?x2,y2?，则x1?x2?， x1x2?， 221?4k1?4k所
以
MN?1?k2??x1?x2?2
?1?k2??x1?x2?2?4x1x2 4m2?4?8km?2 ?1?k????4?2?21?4k1?4k??222243kk?1??43k44k?m?122?1?k? ?1?k?2， ?4k2?14k?14k2?1223k2k2?11所以?MON的面积为S?MON ?MN?1?，
24k2?1令t?4k2?1?1，
??3?则S?2t?1?t?1????1?24?4??3??1?1??4，
??t22?t3?92时， MON面积取到最大值1． 22所以当t?3，即k??7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： ?x?1??y2?16，点A?1,0?，点B?a,0?（a?3），以B为圆心， BA为半径作圆，交圆C于点P，且?PBA的平分线交线段CP于点Q.
（1）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线?上运动，求曲线?的方程；
（2）已知直线l 过点 C，且与曲线?交于 M,N两点，记?OCM面积为S1， ?OCN 面积为
??0,0????2，求
S1的取值范围. S2【思路点拨】（1）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点， 2a?4的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．
?x?my?1Sy?（2）设直线l：x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出1? 得??1，由?x2y2S2y2y2?1??3?4y1
专题3.4 目标范围与最值,函数处理最相宜-玩转压轴题,突破140分之高三数学高端精品(解析版)
