2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（五）
本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合M?{x|x?2x?0},N?{y|y?2?1}，则M?N?（ ） A．(0,2) B．(1,2) C．(0,1) D．? 2.已知i为虚数单位，复数z?2xi(1?ai)的虚部为2，则实数a?（ ） 1?iA．1 B．2 C．3 D．4 3.函数y?cos2x?2sinx的最大值为（ ） A．
13 B．1 C． D．2 224.如图，分别以A,C为圆心，正方形ABCD的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A．
1??21??2 B． C. D． 2244y2x25.已知O为坐标原点，分别在双曲线2?2?1(a?0,b?0)第一象限和第二象限的渐近线
ab上取点M,N，若?MON的正切值为
4，则双曲线离心率为（ ） 3A．
5555 B． C. D． 5243?x?2y?0?226.若点(x,y)满足?y?2x，则x?(y?2)的最小值为（ ）
?x?y?3?A．
25541 B． C. D． 55557.按下面的程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出的x的取值范围为（ ） A．[?3,4]
C. [?3,9]
B．[?1,3] D．[3,4]
8.将函数f(x)?sinxcos(x??3)的图象向右平移
?个单位，得到函3数g(x)的图象，则g(x)图象的一个对称中心是（ ） A．(?6,0)
,?
B．(?3,0)
,?3) 4C. (?63) 4D．(?35122101079. (x?1)(C10x?2C10x???10C10x)展开式中，x项的系数是（ ）
A．50400 B．15300 C. 30030 D．150015
10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）
A．
25?25?1125?1125? B． C. D． 41641611.已知函数f(x)是定义在R内的奇函数，且满足f(2?x)?f(x)，若在区间(0,1]上，
1111，则f(1?)?f(2?)???f(8?)?（ ） x12831313535A． B． C. D．
612612f(x)?12.过抛物线y?2px(p?0)的焦点F且斜率为k(k?0)的直线l交抛物线于点A,B，若
211AF??FB，且??(,)，则k的取值范围是（ ）
32??A．(1,3) B．(3,2) C. (2,22) D．(3,22)
第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题:本题共4小题，每小题5分。
13.YABCD中，M为线段DC的中点，AM交BD于点Q，若AQ??AD??AC，则
??????? ．
14.命题p：若x?0，则x?a；命题q：若m?a?2，则m?sinx(x?R)恒成立.若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ．
15.已知函数f(x)?a?x?lnx，若f(x)与f?(x)（f?(x)为f(x)的导函数）的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 ．
16.已知函数f(x)?sin?xcos(?x??3)(??0)在区间(0,?18)内单调，且在区间(?,2?)内恰
有三条对称轴，则?的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1?2,anan?1?an?2an?1?0(n?2). （1）求证：{1?111}是等比数列，且an?2(n?n?1)?1； an2?12?1*（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若m?N，且m?S100?m?1，求m的值.
18. （本小题满分12分）
四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1?平面
ABCD,M为棱DD1的中点，N为棱AD的中点，Q为棱BB1的
中点.
（1）证明：平面MNQ//平面C1BD； （2）若AA1?2AB，棱A1B1上有一点P，且
A1P??A1B1(??(0,1))，使得二面角P?MN?Q的余弦值为
19. （本小题满分12分）
??1321，求?的值. 63从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%，骑行过共享单车的人数中，有35%是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人.
（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；
（2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x与乱
停乱放单车数量y之间的关系图表：
累计投放单车数量x 乱停乱放单车数量y 100000 120000 150000 200000 230000 1400 1700 2300 3000 3600 ?精确到0.0001,a?值保留三位有效数字）①计算y关于x的线性回归方程（其中b，并预测当
x?250000时，单车乱停乱放的数量；
②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量，X表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X的分布列和数学期望E(X).
?x?a??b?中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为参考公式和数据：回归直线方程y??b?xyini?nxy??xi?1i?1n?(x?x)(yii?1nii?1ni?y)2?x.??y?b,a2i?n(x)2?(x?x)52?xyii?15i?2117000000,?xi?1398?108.
i?120. （本小题满分12分）
已知圆C1:(x?1)?y?1,圆C2:(x?1)?y?25,圆M与圆C1、C2都相内切. （1）求圆心M的轨迹E的方程；
（2）若点Q是轨迹E上的一点，求证：?QC1C2中，?C1QC2的外角平分线与曲线E相切. 21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?(x?3x?1)e2?x2222，其中e为自然对数的底数.
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求证：x?0时，[6x31?xf(x)]?(x?3??lnx)?. exe请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为
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