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重庆大学 线性代数 课程试卷
juan 学年 第 1学期 2013 ~2014
开课学院： 数学学院 课程号： 考试日期： 20131124
?1??3???2??2?????????6．向量组?1?0,?2?2,?3??1,?4?3的一组最大无关组是 ??????????????2???0???1???5??二、单项选择题（每小题3分，共18分）
命题人： 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学考试方式：
考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设A为三阶可逆矩阵，已知A?1的特征值为1,2,3，Aij为A中元素aij的代数余子式，则a11A11?a12A12?a13A13?
?11??2．设A??1?a1a2a?,b??1?1?3，其中a互不相同，则线性方程组ATi(i?1,2,3)x???a21a22a2??b3?????1??的解是
?3．设矩阵A??12?2??4t3?，矩阵B为三阶非零矩阵，且AB?0，则t?
?3?11????4．已知n维向量组?1,?2,?3线性无关，?1,?2,?3,?4线性相关，则向量空间
V????k1?1?k2?2?k3?3?k4?4k1,k2,k3,k4?R?的维数是
?105．设A??1??020?满足A2B?A?B?E，则B?
???201??1．设A为n阶可逆矩阵，A的第二行乘以2为矩阵B，则A?1的【 】为B?1. A．第二行乘以2 B．第二列乘以2 C．第二行乘以
12 D．第二列乘以12 2．设向量组?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性相关，则以下命题中，不一定成立的是【 】
A．?1不能被?2,?3,?4线性表出 B．?2不能被?1,?3,?4线性表出 C．?4能被?1,?2,?3线性表出 D．?1,?2,?3,?4线性相关
3．设A,B为4阶方阵，且秩R(A)?4,R(B)?3，A,B的伴随阵分别为A?,B?，则
R(A?B?)?【 】
A．1 B．2 C．3 D．4 4．设A为3阶方阵，且A?1，A?
是A的伴随阵，则【 】 A．?A????A?1 B．?A????A? C．?A????A D．?A????AT
5.齐次线性方程组Ax?0有非零妥的充分必要条件是【 】
A．矩阵A的行向量组线性无关 B．矩阵A必有一行向量是其余向量的线性组合C．矩阵A的列向量组线性相关 D．矩阵A必有一列向量是其余向量的线性组合
6.设有实二次型f(x2221,x2,x3)?ax1?2x2?2x3?2bx1x3，其中二次型的矩阵A的特征
值之和为1，特征值之积为?12，则【 】
A． a??2,b?1 B．a?1,b??2 C．a?2,b?1 D．a?1,b?2
组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制
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三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“对”或者“错”）
1．若矩阵满足AB?O，则必有A?O，或者B?O （ ） 2．n阶矩阵能够对角化的充分必要条件是：存在n个线性无关的特征向量 （ ） 3．若n维向量组T1能由n维向量组T2线性表出，则有R(T1)?R(T2) （ ） 4．正交矩阵一定有特征值0 （ ） 五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
?x1?3x2?x3?0?1．设方程组为?x1?4x2?ax3?b，问a,b取何值时，方程组无解、有惟一解、有无
?2x?x?3x?53?12穷多个解？有无穷多个解时，求其通解。
5． 任何实二次型均可以通过正交变换化为标准型 （ 四、计算题（一）（每小题8分，共16分）
x?x?1x1．设有多项式f(x)?223x?71043，求f(x)的常数项。 1?71x
??1000?2． 设A的伴随阵A???0100?1??1010??，且ABA??BA?1?3E，求矩阵B. ?0?308??
?11a?2．设A???1a1??,???1?1?已知线性方程组Ax??有解，但不唯一， ?????a11?????2??试求：（1）a的值； （2）求正交矩阵Q使得QTAQ为对角阵。
六、证明题（14分，每小题7分）
1.设A为n阶矩阵，?为n维列向量，若存在正整数k，使得Ak??0，但是Ak?1??0，
证明向量组?,A?,,Ak?1?线性无关。
2．已知A是m?n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx?0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次线性方程组Cx?0的基础解系。
）
重庆大学2013-2014学年线性代数试卷
