1. 均值不等式法
n(n?1)(n?1)2?Sn?. 例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证
22例2 已知函数
f(x)?11?a?2bx12n?1，若f(1)?4，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：
25f(1)?f(2)???f(n)?n?例3 求证C1n2n3n1?. 2n?12?C?C???C?n?222?an?1，x12?x2?nn(n?1,n?N).
22例4 已知a1?a2?2?xn?1，求证：a1x1?a2x2???anxn≤1.
2．利用有用结论
例5 求证(1?1)(1?111)(1?)?(1?)?2n?1. 352n?1例6 已知函数
求证：
1?2x?3x???(n?1)x?a?nxf(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.
nf(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。 ?1,an?1?(1?11)a?. nn2?n2n例7 已知a1(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；
(II)对ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828例8 已知不等式
）
11??23?11?[log2n],n?N?,n?2。[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设正数数列n2{an}满足：a1?b(b?0),an?再如：设函数
nan?12b,n?2.求证an?,n?3.
n?an?12?b[log2n]f(x)?ex?x。
（Ⅰ）求函数
f(x)最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n?N?，有
kne()?. ?e?1k?1n
n例9 设an
1?(1?)n，求证：数列{an}单调递增且an?4.
n3. 部分放缩
11例10 设an?1?a?a?32例11 设数列
?1,a?2,求证：an?2. an?an?满足an?1?an2?nan?1?n?N??，当a1?3时证明对所有n?1, 有：
(i)an?n?2； (ii)1?1?a1111????.
1?a21?an24 . 添减项放缩
2n8()?例12 设n?1,n?N，求证. 3(n?1)(n?2)例13 设数列{a}满足a1?2,an?1?an?n1(n?1,2,?). 证明an?2n?1an5 利用单调性放缩: 构造函数
对一切正整数n成立；
111132x?[,]f(x)?. 例14 已知函数f(x)?ax?x的最大值不大于，又当时
42862 （Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设0?a1?11. ,an?1?f(an),n?N?，证明an?n?122?a??,n?N． ?xn?例15 数列
?xn?由下列条件确定：x1?a?0，xn?1?1???xn??2总有xn（I） 证明：对n
?a；(II) 证明：对n?2总有xn?xn?1
6 . 换元放缩
例16 求证1?nn?1?2(n?N?,n?2). n?1nn2(a?1)2例17 设a?1，n?2,n?N，求证a?4
.
7 转化为加强命题放缩
例18 设0?a?1，定义a1?1?a,an?11??a，求证：对一切正整数n有an?1. an2xn1例19 数列?xn?满足x1?,xn?1?xn?2.证明x2001?1001.
2n 例20 已知数列｛an｝满足：a1＝
32，且an＝
3nan－1（n?2，n?N?）
2an－1＋n－1（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1?a2?……an?2?n！
8. 分项讨论
例21 已知数列{an}的前
（Ⅰ）写出数列
n项和
Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.
{an}的前3项a1,a2,a3； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数
9. 借助数学归纳法
例22（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）设正数
m?4，有
1117?????. a4a5am8f(x)?xlog2x?(1?x)log2(1?x) (0?x?1)，求f(x)的最小值； p1,p2,p3,?,p2n满足p1?p2?p3???p2n?1，求证：
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2nlog2p2n??n
10. 构造辅助函数法
例23 已知
f(x)= 3?4x?2xln2,数列?an?满足?1?a1?0, 21?a2n?1?f?an? n?N*
??（1）求
1?1?0?上的最大值和最小值; （2）证明：??an?0; f(x)在??，2?2??（3）判断an与an?1(n?N例24 已知数列{an}的首项a1)的大小，并说明理由.
?3an3，an?1?，n?1，2，2an?15．
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥1?1?x1?2?，2，； ?x?，n?12?n(1?x)?3?（Ⅲ）证明：a1?a22
?n2?an?．
n?1*
例25 已知函数f(x)=x-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(n∈N). (Ⅰ) 用xn表示xn+1； （Ⅱ）求使不等式xn?1?xn对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；
1112n?1（Ⅲ）若x=2，求证：?????.
1?x11?x21?xn31
例1 解析 此数列的通项为aknn?k(k?1),k?1,2,?,n.?k?k(k?1)?k?k?1?k?1，
221n(n?1)n(n?1)n(n?1)2??k?Sn??(k?)，即?Sn???.
22222k?1k?1注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
ab?a?b，若放成k(k?1)?k?1则2(n?1)(n?3)(n?1)2得Sn??(k?1)?，就放过“度”了！ ?22k?1n②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
a???an?na1?an?1?11n???a1ann2a12???ann，其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 [简析]
4x11f(x)??1??1?(x?0)?f(1)?1?4x1?4x2?2x?f(n)?(1?11)?)?(1?2?222?2?(1?1)
2?2n11?n?(1??42?111)?n??. n?1n?1222123?Cn?Cn?例3 简析 不等式左边Cnn2n?1n?Cn=2?1?1?2?2???2
?n?n1?2?22???2n?1=n?2n?12，故原结论成立.
x2?y2例4 【解析】使用均值不等式即可：因为xy?(x,y?R)，所以有2a1x1?a2x2?2a12?a2?? 222a12?x12a2?x2?anxn???2222an?xn?2
2?an2x12?x2??22?xn?11??1. 22 其实，上述证明完全可以改述成求a1x1?a2x2 若
???anxn的最大值。本题还可以推广为：
a1?a2?22?an?p，x1?x2?222222?xn?q(p,q?0)， 试求a1x1?a2x2???anxn的最大值。
请分析下述求法：因为xy?2a12?a2?? 22?anx?yax?ax?(x,y?R)，所以有112222?xn22a12?x12a2?x2?anxn???2222an?xn?2
2x12?x2??2?p?q. 2，且此时有ak 故a1x1?a2x2???anxn的最大值为
p?q2?xk(k?1,2,,n)。
a??x,n)，即必须有?2kk?1k?1nn2k上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是ak即只有p=q时才成立！那么，
?xk(k?1,2,，
p?q呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：
2a212(p)?a222(p)??a2n(p)?1,xpq212(q)?x222(q)??x2n2(q)?1,
则有
a1x1?a2x2?2?anxn?2a1x1?a2x2??anxnpq2n2
?pq[(a12?a22?2(p)(p)?a(p))?(x212(q)?x222(q)??x2n(q)2)]?pq
于是，(a1x1?a2x2??anxn)max?pq，当且仅当akx?k(k?1,2,pq,n).
结合其结构特征，还可构造向量求解：设m?(a1,a2,由|m?n|?|m||n|立刻得解： |a1x1?a2x2,an),n?(x1,x2,,xn)，则
22?anx12?x2?2?xn??2?anxn|?a12?a2?pq.
x1x2??且取“＝”的充要条件是：a1a22．利用有用结论
例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质xnan。
bb?m?(b?a?0,m?0)可得 aa?m3572n?11352n?12462n2462n2????????????(2n?1)?(???)?2n?1 2n1352n?12462462n1352n?1即(1?1)(1?111)(1?)?(1?)?2n?1. 352n?1 法2 利用贝努利不等式(1?x)n?1?nx(n?N?,n?2,x??1,x?0)的一个特例
?2,x?11，1??2k?12k?1nn2k?12k?11?2n?1. ??(1?)??k?1k?12k?12k?12k?1121(此处)得n(1?)?1?2?2k?12k?1例6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式[法：
?(ab)]iii?1n2??ai?1n2i?bi?1n2i的简捷证
1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x1?2x?3x???(n?1)x?a?nx f(2x)?2f(x)?lg?2lgnn?[1?2x?3x???(n?1)x?a?nx]2?n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]
而由Cauchy不等式得(1?1?1?2x?1?3x???1?(n?1)x?a?nx)2
?(12???12)?[1?22x?32x???(n?1)2x?a2?n2x](x?0时取等号)
?n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]（?0?a?1），得证！
例7 [解析] (II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1?x)?x（x?0）的结构特征，可得放缩思路：
。
an?1?(1?于是lnan?1111111?lna??lna?ln(1??)?lna?)a?nn?1nnn2?n2nn2?n2nn2?n2n?lnan?n?1i?111?n2?n2n，
?i?1n?1(lnai?1?lnai)??11?()n?1111112(2?i)?lnan?lna1?1???2??n?2. 即
1nn2i?i21?2lnan?lna1?2?an?e2.
【注】：题目所给条件ln(1?x)?x（x?0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
