其中m,M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值。
21 / 2619 / 26
y M m y
9积分中值定理：
若f(x)连续x a,b ,则：必存在一点
b
a,b ,
使 a f (x)dx f ( ) (b a)
(二)定积分的计算：
1.
换元积分
设f (x)连续，x [a,b]，x (t)
若(t)连续，t ,,
且当t从 变到 时，(t)单调地从a变到b, ()a, ( ) b,
b
贝U： a f(x)dx
f (t)
(t)dt
2.
b a
分部积分
b
b a
udv u v
a
vdu
3.
广义积分
f ( x)dx
0
f (x)dx
' / 0
f ( x )dx
4.
定积分的导数公式
x
1 (
(x)
a
f ( t ) dt ) x
f ( x )
2[a f (t)dt]x f
3[ (x)f(t)dt]x
1
(x
(x)
f 2(x)
2
(x)
1
2(x)
丿
( x) f 1(x)
(x)( 三)定积分的应用
1.
平面图形的面积：
1° 由 y f (x)
0, x a, x
b, (a b)
22 / 2620 / 26
与x轴所围成的图形的面积 y f(x)
s f (x)dx
a
b
2°由yi
f(x),目2 g(x), (f g)
与x a,x b所围成的图形的面积 s f(x) g(x)dx
b
a 3'由Xi (y), X2 (y),( 与y c, y d所围成的图形的面积
s (y)
d c
(y) dy
4 ?求平面图形面积的步骤 ：
① . 求出曲线的交点，画出草图；
② . 确定积分变量，由交点确定积分上下限； ③ .
应用公式写出积分式，并进行计算。 2.
旋转体的体积
i\曲线 y f(x) 0,与 x a, x
b
Vx
f 2
(x)dx
1
0 a2由曲线x
(y)
o,与y c, y
d
Vy
2
c
(y)dy
第四章多元函数微积分初步 § 4.1偏导数与全微分 一.主要内容： ㈠.多元函数的概念
3. 二元函数的定义：
z f (x, y) (x,y)
)
b及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积:
23 / 2621 / 26
定义域：D(f)
4. 二元函数的几何意义：
二元函数是一个空间曲面。 (而一元函数是平面上的曲线) . 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
1在点(x0, y0)的某个领域内有定义。
(点(x0, y0)可除外) 2 lim f (x,y) A
x X。 y yo
则称z f (x, y)在(x0, y0)极限存在，且等于 A
2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。
2 lim f (x,y)
x X0 y y0
f(x°,y°)
则称z f (x, y)在(x0, y0)处连续。
㈢.偏导数：
定义：f (x, y),在(x0, y0)点
fx(x0,y。)lim f(x0 X,y0)f(X0,y0) X
0
0 x
fy(x°,y°) lim
f(Xy°,y) f(xy0,0) y 0
y
fx(x0, y°), fy(x°, y°)分别为函数 f (x, y)在(x°, y°) 处对x, y的偏导
数。
z f (x, y)在D内任意点(x, y)处的偏导数记为：
fx(x,y)
f(x,y) x f (x,y) y
Zx z Zy y
fy(x,y)
㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
24 / 2622 / 26
若 z f (x x, y y) f(x,y)
A x B y o()
其中，A、B与x、
y无关，o ()是比
:x2 y2较高阶的无穷小量。
则：dz df (x,y) A x B y
是 z f(x,y)
3.
全微分与偏导数的关系
在点(x,y)处的全微分。
定理：若 fx(x, y), fy(x, y)连续，x,y) D.
则：z f (x, y)在点(x, y)处可微且 dz f x ( x ,
y ) dx f y ( x , y ) dy
㈤.复全函数的偏导数：
1.
设：z f (u,v),u u(x, y),v v(x, y)
z f u(x,y),v(x, y)
z j: 则
z u u x
z u
u y
z v v x
z v v y
x
z y
2.
设
y y
v(x) f (u,v),u u(x),v
f[u(x),v(x)]
y du y dv
u dx v dx 0,z f (x, y),且Fz 0
Fy Fz
dy dx
㈥.隐含数的偏导数: i.
设F (x, y,z)
则二
x
Fx 二 Fz y
,
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专升本高等数学(二)笔记大全
