专升本高等数学(二)笔记大全

⑴

f(x)dx f(x)

或：

d f (x)dx f (x)dx

⑵

f (x)dx f (x) C

或:

df (x) f (x) C

⑶

[fl(X)f2(X)

fn (X)]dX

f1（x）dx

f2(x)dx

fn (x)dx

—分项积分法 ⑷

kf (x)dx k f (x)dx (k为非零常数)

4. 基本积分公式：

㈡换元积分法：

1?第一换元法：（又称“凑微元”法）

f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)

凑微元

f (t)dt F(t) C

令 t (x)

F[ (x)] C

回代t (x)

常用的凑微元函数有：

1 1

io

dx -d(ax) -d(ax b)

a a

(a,b为常数，m

1

m 1

1

m 1

2o x dx

2

m 1

dx

a(m 1)

d(ax b)

（m为常数）

3。

exdx d(ex)

1

a

d(aex b)

16 / 2615 / 26

a 0)

axdx

1

d(a ), (a 0,ax

1

4)

o —x dx

d(ln x)

5。

sindx d(cos<) cos

sec xdx d(tanx) csc xdx2

d(cotx)

1

60

V1 xdx d (arcsin x)

d (arccos2

pdx x d(arctan x)

d(arc cot x)

2?第二换元法:

f (x)dx

f[ (t)]d (t) 令 x (t)

(t)f[ (t)]dx F(t)

F[ 1

(x)] C

反代t 1 (x)

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数, 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：

io

x tn, n为偶数时,t 0

（当被积函数中有 、

X时）

2o x asin t,

(或X acosx), 0 （当被积函数中有

:a2

2

、

X

时）

3o x ata nt, i

(或X acott),

0 t

（当被积函数中有 ' a2

2

X时）

4。

x

a sect,(或 x acsct),

（当被积函数中有

17 / 2616 / 26

X

）

㈢分部积分法：

1.分部积分公式:

2?分部积分法主要针对的类型：

⑴

x

⑵

udv u v vdu

u v dx u v u vdx

P(x)si nxdx,

P(x)cosxdx

P(x)edx

⑶

⑷

⑸

P(x)ln xdx

P(x)arcsin xdx,

P(x)arctan xdx,

ax ? i ■

P(x)arccos xdx

P(x)arc cot xdx

ax

■

■

e sin bxdx, e cosbxdx

n n 1

其中：

3.选u规律：

P(x) a°x

aiX

an

(多项式)

⑴在三角函数乘多项式中，令

P(x) u ，

其余记作dv;简称“三多选多”。 ⑵在指数函数乘多项式中，令

P(x) u ，

其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令 其余记作dv;简称“多对选对”。 ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。

In x u，

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。

㈣简单有理函数积分： 1.有理函数:

f(x)

P(x) Q(x)

其中

P(x)和 Q(x) 是多项式。

18 / 2617 / 26

2. 简单有理函数:

f(x)

P(x) f(x)

§ 3.2定积分

主要内容

( 一) ?重要概念与性质

P(x) x2

f(x)

P(x)

(x a)(x b) P(x) (x a)2

f (x)

1.

定积分的定义:

n

b a

f(x)dx 叭

n

i 1

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于 x轴，曲线 直线x=a,x=by=f(x). 之间各部分面积的代数和。 x轴上方的面积取正号， x轴下方的面积取负号。

2.

定积分存在定理:

设：y f (x)

若：f(x)满足下列条件之一：

a,b

1. f(x)连续，x a,b;

2. f(x)在a,b上有有限个第一类间断 点;

3'. f (x)在a,b上单调有界; 则：f (x)在a,b上可积。

i与积分变量形式无关,

若积分存在，则积分值与以下因素无关:

b

b

a f (x)dx a f (t)dt;

2与在a, b上的划分无关，即 3与点 i的选取无关，即

i

a, b可以任意划分 ； 可以在 Xi 1,Xi上任意选取。

积分值仅与被积函数f(x)与区间［a,b］有关。

3.

牛顿 ---- 莱布尼兹公式：

若F(x)是连续函数f (x)在a,b上的任意一个原函数： …b b 则：f(x)dx F(x)a F(b) F (a)

a

*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心

19 / 2618 / 26

定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。

4.

原函数存在定理：

若 f (x)连续，x a,b , 贝U: (x) f (t)dt, x a, b

a

(x)是f (x)在［a, b］上的一个原函数，

x

且： (x)

( a f (t)dt) f (x)

5.

定积分的性质：

设f (x), g(x)在［a, b］上可积，则:

1 kf (x)dx

b

a

k f(x)dx

b

a

f(x)dx f(x)dx

b a f(x) g(x)dx

b

b a

f (x)dx a

g(x)dx

a a

f (x)dx

b c a

f

(x)

a

f (x)dx

b c

f (x)dx

(a c b)

b

1dx

y

g(x)

0 a

b)

a

a

8估值定理：b

m(b a) f (x)dx

a M (b a)

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