{f[
(x)]} 表示复合函数对自变量 X求导；
f [ (x)] 表示复合函数对中间变量
(X)求导。
4?高阶导数：
f (x), f (x),或f (3)
(x)
f(n)
(x) [f(n 1 2 3(x)] , (n 2,3,4
)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念
1.微分：
f (x) 在x的某个邻域内有定义, y A(x) x o( x)
其中:
A(x)与
x
无关，
o( x)是比 x较高
o( x)
阶的无穷小量， 即：
lim
x C 0 ' x
则称
y 1
：)
在
x处可微，记作：
dy A(x) x
dy A(x)dx ( x 0)
2.
导数与微分的等价关系： 定理:
f(x)
在
x处可微
f(x) 在
x
处可导,
且:
f (x ) A( x)
3. 微分形式不变性：
dy f ( u ) du
不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分 dy 都具有相同的形式。
§ 2.2中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理：
f (x)满足条件：
在(a , b )内至少 存在一使得 f (
)
0 .
点
，
1 0在［a , b ］上连续； 2 0在(a , b )内可导 30 f (a) f (b).
11 / 2610 / 26
f(x)
■e—
2?拉格朗日定理：
f(x)
满足条件：
1在［a,b］上连续， 20在(a,b)内可导；
0
㈡罗必塔法则：(
定理:
则:
☆注意:
0 0
在(a,b)内 至少存
占 使得： 在
八、、f (a) ) b a f (b)
f (x)g(x)
和
,
型未定式)
满足条件:
lim
1
lim g(x) x
x a 1°
f (x)
2°在点 a的某个邻域内可导，且
g(x)
3
x a (
lim 3°
4 A, (或 g (x)
lim匸凶 A,(或
X a( ) g (x)
lim型 x a( )
g(x)
i°法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2°若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是型或
°
型时，不可求导。
3°应用法则时，要分别对分子、分母
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求导，而不是对整个分式求导。
4。若
(X)g (x)
和
还满足法则的条件,
可以继续使用法则，即:
lim 3 lim 匸凶 a( )
g (x)
x a( )
g(x)
x
lim -^^ A (或) x a( )
g (x)
型可采用代数变
fx
5。若函数是
形，化成或
°
型;若是
1 ,0
0 _
0
0
型可
采用对数或指数变形，化成
0或—型。
㈢导数的应用
1.切线方程和法线方程：
设：
y f (x), M(x°,y°)
切线方程：
y y°
法线方程：
f (x°)(x x°)
y y
0
f(x°)(x
x0), ((x
f
。0)
)
2.曲线的单调性：
⑴
f (x) 0 x (a,b)
f (x)在(a,b)内单调增加;
f (x)在(a,b)内单调减少；
f (x)
⑵
0 x (a,b) 0 x (a,b)
f (x) 在(a,b)内严格单调增加;
在(a,b)内严格单调减
少。
f (x) 0 x (a,b)
3?函数的极值：
⑴极值的定义：
设
f (x
)在
(a, b)
内有定义，
x
o是a,b)内的一点;
(
Xn
若对于 0的某个邻域内的任意点
x x n
0
，都有:
f(X。) f (x)[或f(x0)
f (x)]
13 / 2612 / 26
则称
f （ x 0 ）
是
f （ x）
的一个极大值（或极小值）
称
X。为
f（x）的极大值点（或极小值点）
⑵极值存在的必要条件：
10.f (x)存在极值f (x0)
2°.f (x0)存在。
f (x0) 0
x
0
称为
f （x）
的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
10.f （x）在X。处连续； f （x0）是极20.f （x0） 0或f（X。）不
存在;
值; x0是极
当
x
渐增通过
X
。时，
f (x)
由（ +）变（ -）；
f (x。 ) 为极大值；
当
X
渐增通过x
。时,
f (x)
由（ -）变（ + ）；则
f (x。)
为极小值。
1。f（X。）。；
f （Xo）是极值;
2°.f （x。）存在。 X。是极值点。
。
若
f （x
。
） ，则
f （x
）
。
为极大值；
若
f（x。）。，则f（x。）为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4 ．曲线的凹向及拐点：
（⑴若
f（X）
0,X
a,b
；则
a,b）
f （x）
在
内是上凹的（或凹的） ，
⑵若
f （x）
°
x a,b
；则
f （x）在（a,b）内是下凹的（或凸的）14 / 2613 / 26
U）
（；
10.f (x0) 0， 0X)过念时变 2.f ( ⑶
号。 5。曲线的渐近线
：
X0, f (X0) 称 为f (x)的拐点
⑴水平渐近线：
若
lim x
f (X) A
y A 是 f(x)
的水平渐近线。
或 lim x f (X) A
⑵铅直渐近线：
f(X) 若 lim xC
f (X)
或 lim xC
第三章 一元函数积分学
§3.1
一、主要内容
不定积分
x C 是 f (x) 的铅直渐近线。
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
f (X), F (X), xD
若：
F (x) f (x)
F(x)
则称
是
f (x)
的一个原函数， 并称
F(x) C
是
f (x)
的所有原函数 其中 C 是任意常数。
2．不定积分：
函数 称为函数
f(x)
的所有原函数的全体，
的不定积分；记作：
f ( x )dx F ( x ) C
其中：
f (x)
称为被积函数； f f(x)
x
(x)dx 称为被积表达式；
称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
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