1o lim
y l叫 f (Xo
x) f (xx o
x 0
0)] o
2。
X Xlim o
f (X)
f (Xo)
左连续：
lim f(x)
f(Xo) X Xo
lim f(x)
f(Xo)
右连续：
X Xo
2. 函数在
X。处连续的必要条件:
定理:
f(x) 在
Xo
处连续
f (x) 在
Xo
处极限存在3.
函数在
Xo处连续的充要条件:
定理：
lim f (x)
f(Xo)
lim f (X) lim f (X)
X Xo
X Xo
4. 函数在
a, b上连续：
f (x)在a, b上每一点都连续。
在端点
a和b连续是指：
lim
f(x) f(a)左端点右连续； x a lim f (x) f (b) 右端点左连续。
x b
————' ----------------------------------------------- a
o
b-
x
5.
函数的间断点：
f (x) 在
Xo
处不连续，则
Xo为 f(X) 的间断点。
间断点有三种情况:
1。
)X( f 在
Xo
处无定义;
6 / 261 / 26
f (Xo)
2。也
X x0
f(X)不存在
x
3o
)X(f 在 o处有定义，且
X X0
!吧伦
存在,
)f(Xo)
。
两类间断点的判断:
1。第一类间断点：
f(X)
特点：XimX
0
f(X)
和佃
都存在。
X Xo
可去间断点
lim f (X)存在，但
X Xo
f(X
lim f (X)
X Xo
2°第二类间断点:
0
)
，或
)x(f 在
X
o处无定义。
処心)和啊心)至少—
特点:
x Xo
lim f(x)
振荡不存在。
无穷间断点：Ximx f(x)和凹
f(x)
至少有一个为
X Xo
x xo
㈡函数在xo处连续的性质
1.
设
连续函数的四则运算：
lim f(x) f(Xo), lim g(x) g(x°) o ， X ￡
g
艸心)(x)i
2°
2
X xo
f(xo) g(xo)
lim[ f (x)
lim
X Xo
g(x)i
f(X。) g(xo)
f(xo) g(xo)
lim g(x) o
X xo
f(x) g(x)
3° 2.
复合函数的连续性:
7 / 261 / 26
y f(u), u (x), y f[ (x)]
f (x)在[a,b]上连续
y +M
f(x) 在 [a,b] 上一定存在最大值与最小值。
y M o
X -M x
2.有界定理：
f (x)在[a,b]上连续
3?介值定理：
f(x)[a,b]
在
上一定有界。
f (x) [a,b]
在
上连续
(a,b)
内至少存在一点
，使得:
f()
f[ (Xo)]
lim (x)
ulinxo)f(U)
?
(X。
x x。
)，
3.
反函数的连续性：
f[lim (x)] f[ (Xo)] x X。
y f (x), x f
lim
x xo
：1
(x),
lim f
y yo
y。 f (Xo)
? 1
f (x) f (xo) (y)
f ty。)
㈢函数在[a , b ]上连续的性质 1?最大值与最小值定理:
其中：
m c M
8 / 261 / 26
推论：
f (x)
在
[a,b] 上连续，且 f(a)与f(b)异号
在
(a, b)内至少存在一点,使得： f( )
i ?导数：y
f (x)在x0的某个邻域内有定义, lim
lim
f(X。 X) f(X。) x 0
x 0
x
f(x) f(x。)
lim
4?初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一兀函数微分学
§ 2.1导数与微分
一、主要内容 ㈠导数的概念
x
X0
x x0
y
x x。
f (x°)
dy
dx
x x
0
f(x) f(X 2.左导数： x x
f (X0) lim 0)0
X x
0
右导数: (Xo)
lim也
f (X0) X X0
X X0
9 / 261 / 26 。
0
定理：
f (x)在Xo的左(或右)邻域上连续在 其内可
导，且极限存在；
则：'
f (Xo)
lim f (x)X Xo
(或:
f (Xo)
x Xlim f (x))
0
3?函数可导的必要条件:
定理：
f(x) 在Xo处可导
f(x) 在Xo处连续
4.函数可导的充要条件：
定理：
y X xo f (Xo)存在
f (Xo) f (Xo), 且存在。
5?导函数：y f (x),
x (a, b)
f (x) 在 (a,b) 内处处可导。 y f (Xo)
6?导数的几何性质：
y
f (X
o)是曲线y
f(x)
上点
IVI
Xo,y
o处切线的斜率。0 Xo
㈡求导法则 1?基本求导公式：
2?导数的四则运算：
10( u v) u V
20( u v) u V u V
u u v u v 3o v
v
2 (v o)
3?复合函数的导数：
y f (u), u (x),
y f[ (x)]
dy dy du
或
{f[ (X)]}
f [ (X)]
dx du dx，或
☆注意
{f[ (X)]}与 f [
(X)] 的区别:
10 / 261 /
(X)
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