第一章函数、极限和连续
§ 1.1 函数
一、
主要内容
㈠函数的概念
1.
函数的定义：y=f(x), x � D 定义域：D(f),
值域:Z(f).
2.分段函数 :y
f (x) x D1 g(x)
x
D2
3.隐函数： F(x,y)4.反函数： =y=f(x)
=0
-1
(y)
T x= $ (y)=f
y=f
-1
(x)
定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1. 函数的单调性：y=f(x),x � D,X1、X2� D
当 X1V X2 时,若 f(x 1) < f(x 2),
则称f(x)在D内单调增加();
若 f(x 1) > f(x 2),
则称f(x)在D内单调减少();
若 f(x 1) v f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调增加();
若 f(x 1) > f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。
2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3. 函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x � (- +8)
周期：T――最小的正数
4. 函数的有界性：|f(x)|
< M , x � (a,b)
㈢基本初等函数
1. 常数函数：y=c , (c为常数) 2. 幕函数： y=x n , (n 为实数) 3. 指数函数：y= ax , (a > 0、1) 4. 对数函数： y=log a x ,(a > 0、a 丰 1) 5. 三角函数： y=sin x , y=con x
y=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx
6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x
1 / 261 / 26
y=arcta n x, y=arccot x
㈣复合函数和初等函数
1. 复合函数：y=f(u) , u= $ (x)
2 / 261 / 26
y=f[ $ (x)] , x � X
2. 初等函数 : 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函
数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限 : lim yn A n
称数列
y
n 以常数 A 为极限 ;
或称数列
y
n 收敛于 A.
y
定理 : 若
n 的极限存在
2.
函数的极限：
⑴当
x
时，
f(x)
lim f (x) A
x
limx
f (x) A
⑵当
x
x0 时， f ( x)
lim
f ( x) A
x x 0
左极限：
lim f ( x )
x x 0
右极限：
x x
lim f ( x)
0
⑶函数极限存的充要条件： 定理： x
limx0 f (x) A
㈡无穷大量和无穷小量
yn 必定有界
的极限：
lim f (x)x
的极限：
A A
lim f (x)
x x0
3 / 261 / 26lim f (x) A
x x0
i.无穷大量：
lim f(x)
f(x)
为无穷大量。
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指：
X
, X
, X
,
x
X),
Xo, X Xo
2.
无穷小量：
lim f (X)
0
称在该变化过程中
f
(x)
为无穷小量。
3.
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：lim
f (X ) 0 lim
1
f ( x)
4.
无穷小量的比较：
lim
0, lim ⑴若
lim
0
，则称B是比a较高阶的无穷小量;
⑵若lim
C
(c为常数)，则称B与a同阶的无穷小量;
⑶若
lim
—
1
，则称B与a是等价的无穷小量，记作：B?a；
⑷若
lim ——
，则称B是比a较低阶的无穷小量。
定理：若：i ~
1
,
2
~
2
；
则：
lim 士 lim 十
㈢两面夹定理
1. 数列极限存在的判定准则：
设：
yn Xn
Z
n
(n=1、2、3…)
且：
lim y n
lim zn
a
n
n
则：
lim n
Xn a 2.
函数极限存在的判定准则:
4 / 261 / 26
(f (x) 0
0 )
设：对于点X0的某个邻域内的一切点 （点X0除外）有：
g（x） f（x） h（x）
且：
lim g(x) lim h(x) A
x X0
x xo
Jim f (x) Ax X
o
㈣极限的运算规则
若:
lim u(x) A, lim v(x) B
则：①
lim[u(x) v(x)] limu(x) limv(x) A B
②
lim[ u(x) v(x)] lim u(x) lim v(x) A B
u(x) lim u(x) A
lim
③
V(x)时 B (
limv
(x)0)
推论：①
lim[ ui(x) U2(x)
Un(x)]
lim u1 (x) lim u2(x) lim un(x)
②
lim[ c u(x)] c lim u(x)
③
lim[ u(x)]
[lim u(x)]
㈤两个重要极限
lim sin x
lim
sin (x)
x 0 x
(x)
0
(x)
1
lim 1 x 2.
lim (1 x)x e
x （1 -x）x
e x 0
§ 1.3连续 一、
主要内容
㈠函数的连续性
1.函数在
x
0处连续:
f (x)
在 的邻域内有定义,
X。
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