初中数学竞赛辅导资料
非负数
甲内容提要
1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.
a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零. 2. 初中学过的几种非负数：
⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数，则a≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a是二次根式，则a≥0， a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根， 则b2－4ac≥0. 若b2－4ac≥0 (a≠0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 3. 非负数的性质：
⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.
例如：a2有最小值0（当a=0时）， x?1也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. 若a≥0且－a ≥0， 则a=0；
如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0, a×b≥0, a2x≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 例如 若a?1?（b＋3）2+2c?1=0
?a?1?0?a?1?0?a?1????2 那么?(b?3)?0 即?b?3?0 ∴?b??3.
?2c?1?0?c??0.5?2c?1?0????
乙例题
例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根 证明：把方程左边分组配方，得 （x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0 即（x2+1）2+(x+1)2=－4
∵（x2+1）2＞0，(x+1)2≥0，
∴（x2+1）2+(x+1)2≥0. 但右边是－4.
∴不论x取什么实数值， 等式都不能成立. ∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根. 例2.
a取什么值时，根式(a?2)(a?1)?(a?2)(1?a)有意义？
解：∵二次根式的被开方数（a－2）(a?1)与(a－2)(1－a)都是非负数，
且（a－2）(a?1)与(a－2)(1－a)是互为相反数， ∴（a－2）(a?1)＝0. （非负数性质2） ∴a－2=0；或 a?1=0.
∴a1=2, a2=1, a3=－1.
答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义. 例3.
2x?16?8x1要使等式（2－x）2+＝0成立，x的值是＿＿＿＿.
x?43（1991年泉州市初二数学双基赛题）
2x?16?8x1解：要使原等式成立∵（2－x）2≥0， ∴≤0.
x?43x?4x2?16?8x∴＝＝－1，(x－4≠0)
x?4x?4∴（2－
1x）2＝1，且x－4<0. 312?（2－x)?1?x＝3或x?9?即? 解得 3??x?4??x?4?0 ∴x=3 .
答：x的值是3.
例4. 当a, b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？
（1987年全国初中数学联赛题）
解：∵当△≥0时，方程有实数根.
解如下不等式： ［2（1＋a）］2－4(3a2+4ab+4b2+2)≥0
－8a2－16ab－16b2+8a－4≥0， 2a2+4ab+4b2－2a+1≤0， （a+2b）2+(a－1)2≤0 ①
∵（a+2b）2≥0且(a－1)2≥0， 得（a+2b）2+(a－1)2≥0 ②
∴只有当（a+2b）2＝0且(a－1)2＝0 不等式①和②才能同时成立. 答：当a=1且b=－丙练习48
1. 已知在实数集合里x?3?3?x有意义，则 x=____. 2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.
3. 已知a?1?b2?2b?1＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a100b101=____. 4. 把根号外因式移到根号里：
① －aa=＿＿＿， ② b?b=＿＿＿＿， ③－c?5.如果a （A）（x+a）?(x?a)(x?b). (B) （x+a）(x?a)(x?b). (C) －（x+a）?(x?a)(x?b). (D) －（x+a）(x?a)(x?b). （1986年全国初中数学联赛题） 6. 已知a是实数且使a?a=x, 则x=＿＿＿＿. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 7. 已知a, b 是实数且a?1时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根. 21=＿＿＿＿. cb?1?1?b?1. 2 化简4a2?4ab?1?a2b?2ab?1后的值是＿＿＿＿. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 8. 当x=＿＿时，3－（x＋2）有最大值＿＿＿. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 9. 已知： 1?a?c?4?1,且1?a, c?4都是整数.求a, c的值. 10. 11. 12. 13. （1989年全国初中数学联赛题） 求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解. 求适合不等式2x2+4xy+4y2－4x+4≤0的未知数x的值. 求证：不论k取什么实数值，方程x2+(2k+1)x－k2+k=0都有不相等的实数解. 比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小. ?x?y?z?2?14.已知方程组?xy?yz?xz?1?a的解x,y,z 都是非负数. 求a的值. ?xy?z?1?a? 练习48 1. 3 2. －1 3. 1，－1，－1 4. ①－a3， ②－?b3， ③ ?c 5. C 6. 0。 因为左边 a≤0， 右边x≥0。 7. －a。 ∵ b=1,a?1 8. x=－2, 最大值3 29. ??a?1,?a?0,?a?2,?1?a?0,1 ? ? ????c?5；?c?4;?c?4.?c?4?1,0??x?2?x?2,??x??210. ? 11? ?y??1????y??2；?y?212. △＝8k2+1 ……13. 用求差法， 配方（乘上2×0.5） 14. － 1 ?a＜1 4
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