am?GM?mR2， 加速度的方向指向地球．
以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的
大小为a?m，则由万有引力定律和牛顿第二定律有
GMmR2?ma?m， 加速度的方向指向地球．相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小
f??M?Mam，
方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同．若地球相对月心系的加速度为ae，则有
GMmR2?f?e?Mae． 由(5)、(6)、(7)三式得
ae?GM?mR2， 加速度的方向指向月球． (4)式与(8)式表明，地球相对月心系的加速度ae与月球相对地心系的加速度am大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致．
评分标准：本题15分. 第1小问5分.
第2小问10分.指出不正确并说明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分． 四、 ?V1参考解答：
?V2于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面Ap11p2与AAA2B21B12，它们的面积分别为S1和S2，由题意，
S1??S2，以其间管道内的气体为研究对象，如图所示．设经过很短时间?t，这部分气体流
至截面B1与B2之间，A1B1间、A2B2间的微小体积分别为?V1、?V2，两处气体密度为?1、
?2，流速为v1、v2．气流达到稳恒时，内部一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关．由
此可知，尽管B1A2间气体更换，但总的质量与能量不变．
先按绝热近似求喷气口的气体温度T2．质量守恒给出
?1?V1??2?V2，
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(1)
即A2B2气体可视为由A1B1气体绝热移动所得．事实上，因气流稳恒，A1B1气体流出喷口时将再现A2B2气体状态．对质量?m??1?V1??2?V2的气体，利用理想气体的状态方程
p?V??m?RT
和绝热过程方程 c p1??VV?R1?ccV?pV?R2??V2?cV， 可得 R
T?p?cV?R2??2．
?p?1?T1再通过能量守恒求气体的喷射速率v2．由(1)式及?V?Sv?t，可得
?1S1v1??2S2v2，
cVc再利用(1)、(3)式，知v?2S2SV?R1??v?p2?2?2???v2，因S2??S1， p2??p1，故
1S1S1?p1??
v1??v2．
整个体系经?t时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量?E为A2B2部分与A1B1部分的能量差．由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似下并考虑到(6)式，有
?E?12?m2?mv2??cV?T2?T1?． 体系移动过程中，外界做的总功为
W?p1?V1?p2?V2．
根据能量守恒定律，绝热过程满足 ?E?W，
得
R
v2?c?2???V?R?T1??1????p2??cV?R????p1???， ??其中利用了(2)、(4)两式．
评分标准：本题20分.
(2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2分．
五、 参考解答：
旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为
f?g2?2． 由(1)式，旋转抛物面方程可表示为
z?r24f． 停转后液面水平静止．由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．
抛物液面最低点以上的水银，在半径R、高
R24f的圆柱形中占据体积为M的部分，即附图
VM?中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体
积为V的部分无水银．体M在高度z处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z处圆环面积
SM?z??π?R2?r2??π?R2?4fz?．
将体V倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体?，相应抛物面方程变为
z?R2?r24f， 其高度z处的水平截面为圆面，面积为 S??z??πr2?π?R2?4fz??SM?z?．
由此可知
M???V?12R22πR4f， 即停转后抛物液面最低点上升
h?MR2πR2?8f． 因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，
故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为
y0．凹面镜成像时，物距u即所求距离，像距v与像长y分别为
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
v?fuu-f，
y??vfuy0?f?uy0． 平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为
u??u?h?u?R28f， 像距v?与像长y?分别为 v??-u?，
y???v?u?y0?y0．
两像视角相同要求 yy?u?v?u?-v?， 即
12u?u2f?12u?R24f，
此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离
u?R2． 评分标准：本题20分.
(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．
六、 参考解答：
1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c．以?和??分别表示光子速度方向在S和S?系中与x和x?轴的夹角，则光速的x分量为 ux?ccos?，
u?x?ccos??．
再利用相对论速度变换关系，得
cos??cos???vc1?vcos??c．
S?系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0????π2的方向角范围内，
S系中，
(8)
(9)
(10)
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(1) (2)
(3)
此范围对应0????．由上式求得
cos??v
??arccos2c?arccosv． 1?v?cccos2可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．
2．S?系中，质点静止，在?t?时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即
P?t???m0c2，
式中?m0为?t?时间内质点减少的质量．S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少?m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为?p??mv，即
?p??m0v1-v2c2； 转化为光子的总能量为?E??mc2，即 2
?E??m0c1?v2c2． S?系中光源静止，测得的辐射时间?t?为本征时，在S系中膨胀为
?t??t?1?v2c2， 由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为 ?pvP?t?c2，
?E?t?P． 评分标准：本题20分.
第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.
第2小问13分.(5)、 (6) 、(7)式各2分，(8)式3分，(9) 、(10) 式各2分． 七、 参考解答：
1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为 Ec?MV??E?c?MV?，
E?MV22?E??MV?22．
其中V?为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去V?，得
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(1) (2)
第26届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
