第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
解析：所求直线实质是两圆心连线所在直线，即3x－y－9＝0. 答案：C
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
解析：已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)．
答案：B
1
3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 C．2条
B．3条 D．1条
解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121， O1(3，－8)，r＝11，
⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8， 所以|O1O2|＝
（3＋2）2＋（－8－4）2＝13，
所以r－R<|O1O2| 所以两圆相交，所以公切线有2条． 答案：C 4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( ) A．9 C．14－65 B．14 D．14＋65 解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2，1)， r＝3，而x2＋y2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2. 所以x2＋y2的最大值为(（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋65. 答案：D 5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切 C．外切 B．相交 D．相离 解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由 2 2aa 题意，d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2 22 ＝22，圆心距＝2，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交． 答案：B 二、填空题 6．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________． 解析：C1(1，2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3， |C1C2|＝5，r1＋r2＝5， 因此两圆外切． 答案：外切 7．两圆相交于两点A(1，3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________． 解析：由题意得 ? ?? 3－（－1）kAB＝＝－1， 1－m m＋13－1 －＋c＝0，22 ??m＝5，得? ?c＝－2.? 所以m＋c＝5－2＝3. 答案：3 8．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________． 解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)213 ＝0，将(3，1)代入得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2 53 3 ＝0. 答案：x2＋y2－三、解答题 9．半径为3的圆C1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1内切，切点为(0，2)，求圆C1的方程． 解：因半径为3，设圆C1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，则圆心C1(a，b)，由已知得圆C2圆心为C2(0，3)，半径r＝1.圆心距d＝（a－0）2＋（b－3）2＝a2＋（b－3）2. 因C1与C2内切，故d＝|R－r|＝|3－1|＝2， 即：a2＋（b－3）2＝2.① 因切点为(0，2)，故(0－a)2＋(2－b)2＝9， 即：a2＋(2－b)2＝9，② 联合解方程①②得：a＝0，b＝5. 所以圆C1的方程为：(x－0)2＋(y－5)2＝9， 即：x2＋(y－5)2＝9. 10．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)若相交，请求公共弦所在直线的方程； (3)若相交，请求公共弦的长度． 解：(1)配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10. 又|C1C2|＝25， 4 13 x＋y＋2＝0 3 r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10. 所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0. (3)法一 两方程联立，得方程组 22??x＋y－2x＋10y－24＝0， ①? 22??x＋y＋2x＋2y－8＝0， ② ①－②得x＝2y－4，③ 把③代入②得y2－2y＝0，所以y1＝0，y2＝2. ??x1＝－4，??x2＝0，所以?或? ???y1＝0?y2＝2. 所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)． 所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝25. 法二 由(2)知公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0，由(1)知圆C1：圆心为C(1，－5)，半径r＝52.圆心C到直线x－2y＋4＝0的|1－2×（－5）＋4| 距离d＝＝35，设公共弦长为2l，由勾股定理r2 2 1＋（－2）＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25. B级 能力提升 1．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( ) A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝0 解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为 5
高中数学人教A版第四章4.2-4.2.3直线与圆的方程的应用
