电大离散数学课程基于网络形成性考核改革试点方案试点第3次形考任务答案

四、证明题

1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

证：设，若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C， 即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C． 即x∈A?B 且 x∈A?C ， 即 x∈T=(A?B) ? (A?C)，

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．

反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C， 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈B?C， 即x∈A? (B?C)，

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)． 因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)． 证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以S?T． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C， 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S． 因此T=S．

3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A?B = A?C，且A??，则B = C． 证明：设x 因为A

A，yB = A

B，则AB， C，故 AC，则有y

C，

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所以B C． 设xA，zC，则 AC， 因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB． 故得A=B．

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

R1和R2是自反的，x ?A， ? R1， ?R2，则 ? R1∩R2，

所以R1∩R2是自反的．

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