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福建省永泰县第一中学2024-2024学年高二数学上学期期中试题
完卷时间：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知命题p:?x0?1，使得lgx0?0，则?p为（ ）
A. ?x?1，总有lgx?0 B. ?x?1，总有lgx?0 C. ?x0?1,使得lgx0?0 D.?x0?1，使得lgx0?0
x2y22.已知中心在原点的等轴双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?，右顶点为2,0，则双曲线
abC的焦距等于（ ）
A．2 B．22 C．4 D．42 23．不等式2x?5x?3?0的一个必要不充分条件是（ ）
11A．?6?x?1 B．?3?x? C．?3?x?0 D．??x?3
22??4．下列命题中正确的是( )
A.命题“若x?3x?2?0，则x?1”的否命题为“若x?3x?2?0，则x?1”；
rrrrB.命题“若平面向量a,b共线，则a,b方向相同”的逆否命题为假命题； C.命题“若a?3或b?2，则a?b?5”是真命题；
D.命题“若a?b…4，则a、b中至少有一个大等于2”的逆命题是真命题.
5．已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是( )
222x2yx2yx2yA．??1 B．??1或??1
364364436222y2xx2yx2yC．??1 ?1 D．??1或?36323632363222uuurr6.如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?a， uuurruuurrAD?b，AA1?c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，
uuuurrrr且CN:NA1?1:4 .用a,b,c表示向量MN的结果是（ ）
rrrrrrA．1a?b?c B. 1a?1b?4c
2555rrrrrrC. 1a?3b?1c D. 4a?3b?4c 51055105第6题图
rr高二数学试卷 第 1 页 共4页 u u u u u u
7．空间四边形ABCD中若AB?BD,CD?BD,AC?2,BD?1,则ACgBD?（ ）
A．
1 B． 1 C．3 D．0 212点P在x轴上的射影为点H，点A的坐标为(12,6)， x上的动点，
48．已知点P为抛物线y?实用文档
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则PA+PH的最小值是( )
A．13 B．12 C．11 D．10 9. 如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中, M,N分别侧棱A1B1,
CC1的中点,P为线段AD上一动点,记?为异面直线PM与D1N所成的角,则?的集合是（ ） A．?? B．??C．??
????2???剟?6????
2?? 2???剟??4????? D．??剟?2??3??第9题图
x2y210. 已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一个焦点F与抛物线y2?2px?p?0?的焦点
ab相同，点A
是两曲线的一个交点，且AF垂直x轴，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．2 C．1?2 D．1?3 x2yx2y?1有公共焦点F1,F2,且两条曲线在第一象限的?1与双曲线2?11．已知椭圆2?m5a16交点为P点，则△PF1F2的面积为（ ）
221121 B． C．45 D．85 2222xy12．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的内接?ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，
abA．线段AB
uuuruuur中点为K，且CF?2FK,则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．?0，????3??6??3?6?,1，1?0， B． C． D． ?????????????3??3??3??3?
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）
213．命题“?x?R,mx?2mx?1?0”是真命题，则实数m的取值范围为_____________.
14．双曲线x?4y?4的一条弦恰被点P?8,1?平分，则这条弦所在的直线方程是
22_____________.
15. 已知M、N是过抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点F的直线l与抛uuuuruuur物线C的交点，O是坐标原点，且满足MF=3FN，S?OMN?3MN，
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则p的值为_____________.
16. 如图所示，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为
菱形，?ABC=60且AA1=AB，M为侧棱AA1的中点，E,F 分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BE?C1F， 当E,F运动时，下列结论中正确的序号是_____________. ①在△MEF内总存在与平面ABCD平行的线段； ②平面MEF⊥平面BCC1B1； ③三棱锥A1?MEF的体积为定值； ④△MEF可能为直角三角形.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 若命题p:实数x满足x?4x?0，命题q：实数x满足(x?1?a)(x?1?a)…0?a?0?.
2o第16题图
（Ⅰ）当a?2且p?q为真命题时，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．（本小题满分12分）
?3),且渐近线方程为（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为(0，3)，(0，y??2x，
求双曲线C的标准方程；
22（Ⅱ）在圆x?y?3上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P 在该
圆
上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程.
19.（本小题满分12分）
高二数学试卷 第 3 页 共4页
如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相 垂直，AB?2,AF?1，M是线段EF的中点． （Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；
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（Ⅱ）求二面角B?DF?A的大小.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C的方程为y2?2px?p?0?，C上一M?,m?点到焦点的距离为2. （Ⅰ）求抛物线C的方程及点M的坐标；
第19题图
?3?2??uuuruuur（Ⅱ）过点P?1,0?的直线l与抛物线C交于点A,B，与y轴交于点Q，设QA??PA ,
uuuruuurQB??PB,求证: ???是定值.
21．（本小题满分12分） 如图所示，等腰梯形ABCD中, AB∥CD，AD?AB?BC?2，CD?4， E为CD中点，
AE 与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P?平面
． ABCE）
（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（Ⅱ）若PB?6，试判断线段PB上是否存在一点Q (不含端点),使得直线PC与平面
AEQ所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ的值;若不存在，说明理由．
5QB
22.（本小题满分12分）
22第21题图
已知椭圆C:xy??1?a?b?0? 的离心率为2，椭圆C截直线x?1所得线段的长度22ab2为2.过椭圆C上的动点P作圆(x?1)2?y2?1的两条切线分别交y轴于M,N两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN长度的最大值，并求此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 实用文档
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答案
B C A B D D B B A C C A 二、填空题（每小题5分，共20分）
13、0?m?1 14、2x?y?15?0 15、8 16、①②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分=5分+5分） 解：（Ⅰ）由p:x?x?4??0，得0剟x4 …………………………………………1分
3
当a?2时，由q：(x?1?2)?x?1?2?…0 ， 得x剠?1或x∴q:x剠?1或x3 …………………………………………………………2分
Qp?q为真命题，?p真且q真 ?0剟x4???3剟x?x剠?1或x3∴实数x的取值范围为3剟x4 ………………………………………………4分
4 ……………………………………………5分
（Ⅱ）因为a?0，由?q:(x?1?a)(x?1?a)?0 得1?a?x?1?a?a?0?…7分
设A?{x|0剟x44},B?{x|1?a?x?1?a,a?0}
Qp是?q的必要不充分条件， ?BüA ………………………………8分 ?1?a…0 …………………………………………………………9分 ???1?a?4又Qa?0∴0?a?1…………………………………………………10分
∴实数m的取值范围为0?a?1 .
18. （本小题满分12分=6分+6分） 解：（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，
y2x2则设其方程为：2?2?1(a?0,b?0)，且c?3L ①……………………2分
ab双曲线的渐近线方程为y??2x即又Qa?b?cL③，由①②③a?222a?2L②…………………………………3分 b2,b?1……………………………………5分
y2?x2?1…………………………………………………………6分 得双曲线方程为：2（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为?x,y?，点P的坐标为?x0,y0?，
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