轨迹方程的经典求法
一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．
例2：在△ABC中，BC?24，AC，AB上的两条中线长度之和为39，求△ABC的重心的轨迹方程． 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有
2BM?CM??39?26．
3∴M点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 其中c?12，a?13．∴b?a2?c2?5．
x2y2??1(y?0)． ∴所求△ABC的重心的轨迹方程为
16925二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.
uuuruuur·PB?x2，则点P的轨迹是（ ） 例1：已知点A(?2，，0)B(3，0)，动点P(x，y)满足PA A．圆
B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
uuuruuuruuuruuur?y)，PB?(3?x，?y)，·PB?x2，解析：由题知PA?(?2?x，由PA得(?2?x)(3?x)?y2?x2，即y2?x?6， ∴P点轨迹为抛物线．故选D．
三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
例3：已知△ABC的顶点B(?3，， 0)C(1，0)，顶点A在抛物线y?x2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．?3?1?x0?x?，?x?3x?2， ①?0?3∴?解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得?
y?y?0，?y0?3y． ②?3?2 又∵A(x0，y0)在抛物线y?x2上，∴y0?x0． ③
4 将①，②代入③，得3y?(3x?2)2(y?0)，即所求曲线方程是y?3x2?4x?(y?0)．
3四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
uuuruuur1uuuruuur例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且A(?2，0)，B(2，0)，AD?2，AE?(AB?AD)．
2（1）求E点轨迹方程；
（2）过A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为与E点的轨迹相切，求椭圆方程．
uuur1uuuruuur解：（1）设E(x，y)，由AE?(AB?AD)知E为BD中点，易知D(2x?2，2y)．
2uuur 又AD?2，则(2x?2?2)2?(2y)2?4． 即E点轨迹方程为x2?y2?1(y?0)； （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点(x0，y0)．
4，且直线MN5x2y2 由题意设椭圆方程为2?2?1，直线MN方程为y?k(x?2)．
aa?41 / 6
∵直线MN与E点的轨迹相切，∴2kk2?1?1，解得k??3． 3x1?x2a2322224将y??， ??(x?2)代入椭圆方程并整理，得4(a?3)x?4ax?16a?3a?0，∴x0?22(a2?3)3a24x2y242又由题意知x0??，即?，解得a?8．故所求的椭圆方程为??1．
2(a2?3)5845五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来 uuuruuuur例4：已知线段AA??2a，直线l垂直平分AA?于O，在l上取两点P，P?，使其满足OP求直线AP·OP??4，
与A?P?的交点M的轨迹方程．
解：如图2，以线段AA?所在直线为x轴，以线段AA?的中垂线为y轴建立直角坐标系． 设点P(0，t)(t?0)， ?4?则由题意，得P??0，?．
?t?t4由点斜式得直线AP，A?P?的方程分别为y?(x?a)，y??(x?a)．
ata两式相乘，消去t，得4x?ay?4a(y?0)．这就是所求点M的轨迹方程．
2222
评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
配套训练
一、选择题
1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆 C.双曲线的一支
D.抛物线
x2y22. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2?94交点的轨迹方程为( )
x2y2A.??1
94二、填空题
y2x2x2y2B.??1 C.??1 9494y2x2 D.??1
943. △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－迹方程为_________.
aa1,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨2224. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
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三、解答题
5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
x2y26. 双曲线2?2=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q
ab的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
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x2y27. 已知双曲线2?2=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.
mn(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；
(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
x2y28.已知椭圆2?2=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点
abF2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.
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参考答案
配套训练
一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
答案：A
2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1、P1、P共线，∴
y?y0y?y0yy∵A2、P2、P共线，∴ ??x?x0x?3x?x0x?322x0y093yx2y2解得x0=,y0?,代入得??1,即??1
xx9494答案：C
二、3.解析：由sinC－sinB=
11sinA,得c－b=a, 2216x216y2aa?1(x?). ∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为2?42a3a216x216y2a?1(x?) 答案：2?4a3a24.解析：设P(x,y），依题意有
5(x?5)2?y2?3(x?5)2?y2,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.
答案：4x2+4y2－85x+100=0
三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l
x2y2所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0) ?81726.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).
y0?y??x0??x(x0??a)?x?ax?a??1??0 得?由条件? x2?a2yy0??y0????1y???x?ax0?a22x?a而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2，即b2(－x2)－a2()2=a2b2
y化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).
7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),
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高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案
