号学 … … 名姓 …… …… … … … 密… …… 级班 …… … 等 ……级 封…90 …专…路 …、 …… 级 ……01 线本…升 …专 ……、级 ……90 ……科 工理 级 班用 适卷试 山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 （ E ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第 1 页 共 3 页
(A) Ax?0有零解 (B)Ax?b无解 得分 一、填空题（每小题3分，共15分） (C) A所有特征值都不等于零 (D)Ax?b有解 阅卷人 4．设?1,?2为A的两个不相同的特征值，?和?为A的分别属于?1与?2的特征向量，则?201和? （ A ） 1．三阶行列式14?1 =0 . 340(A) 对应分量不成比例 (B) 对应分量成比例 (C) 线性相关 (D) 可能有零向量 2．设A为3阶矩阵?A*为A的伴随矩阵,|A|?15．设 A2?3A?2E?0，则A的特征值只能取 （ D ） 2? 则A*?14. (A)?1或2 (B)1或?2 （C）?1或?2 （D）1或2 ?101??123??122? 3．设A??010?????456??? 则A??452? ?得分 三、（10分）计算行列式（D??? n为n阶行列式，n?2为整数） ?001????789????782??阅卷人 1?a11? ? ?1?11?a2? ? ?1?100??Da*n?1a2an?0. 4．设A??010?? A为A的伴随矩阵，则R?A*??3. ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?,其中??001??11? ? ?1?ana100? ? ?0015．二次型f(x)?xT??27??25??33??x的矩阵是??53?. ??a2a20? ? ?001c解：D1?c20?a3a3? ? ?001 nc????c?2?3? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? -----（4分） 得分 二、单项选择题（每小题3分，共15分） a阅卷人 ? ? ? 000? ? ??an?1n?11 000? ? ?0?an1?an1. 四阶行列式中带负号且含有因子a11a23的项为 （ B ） 100? ? ?00a?11010? ? ?00a?1（A） ?aa211a23a34a42 （B）?a11a23a32a44 （C）?a11a23a3344 （D）?a11a23a31a44 001? ? ?00a?13n2. 设A,B 均为n阶方阵，下面结论正确的是 ( C ) ?a1a2? ? ?an? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??(a11a2an)(1??000? ? ?01a?1i?1a)in?1 （ A ）若 A ,B 均可逆，则 A ? B 可逆 （B）若A?B可逆，则A?B可逆 n000? ? ?001??a?1ii?1 （C）若A,B 均可逆，则AB可逆 （D）若A?B可逆，则A,B均可逆 -------------（6分） 3.方阵A可逆的充分必要条件是 ( C ) 号学 … … … 名 … …姓 …… … …密 …… … … 级 …班 …… …封等 …级…9 …0…专 …路 ……、 …级线0 …1…本 …升 ……专、 ……级 … 90 科工 理 级班 用 适卷 试 山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 ( C ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第 2 页 共 3 页
得分 四、（10分）设A?diag(1,?2,1),A*BA?2BA?8E,其中A*为A的伴得分 六、（10分）设矩阵A??a1a2a3a4??其中a2,a3,a4线性阅卷人 随矩阵,求B? 阅卷人 无关,a1?a2?a3?a4?0?向量b?a1?a2?求方程组Ax?b的通 解 由A*BA?2BA?8E得 解? ?A*?2E?BA??8E -----------------------（2分） 解 由b?a1?a2知???1100?T是方程组Ax?b的一个解? -----（3分） B??8?A*?2E??1A?1??8?AA*?2A??1??8??2E?2A??1?4?E?A??1 由aT1?a2?a3?a4?0知???1?1?11?是Ax?0的一个解? ?4?diag(2,?1,2)??1?2?diag(1,?2,1)? 由a2,a3,a4线性无关和a1?a2?a3?a4?0知R?A??3?故方程组Ax?b所对应的齐 ------------------------（8分） 次方程组Ax?0的基础解系中仅含一个解向量? 因此???1?1?11?T是Ax?0的基得分 ?(2??)x1?2x2?2x3础解系。 ---------------------（5分） 阅卷人 五、（10分）设??0?2x1?(5??)x2?4x3?0? ? 所以方程组Ax?b的通解为 ??2x1?4x2?(5??)x3?0x?c1TT问?为何值时? 此方程组(1)有唯一解? (2)有无穷多个解? ?1?1?1???1100?,?c?R? ----------（2分） ?解 B??2??2?2??25???4?r?25???4????01??1?????2?45??????00(1??)(10??)? ??? ----------------（6分） 要使方程组有唯一解? 必须R(A)?3? 即必须?1????10????0,且1???0, 所以当??1且??10时? 方程组有唯一解； 要使方程组有无穷多解? 必须R(A)?3，即必须?1????10????0且1???0, 所以当??1或??10时? 方程组有无穷多解? ---------------------（4分） 号学 … … … … … 名…姓…… … 密 … … … … … … 级…班… 封 … 等…级……90…专…路…、…线 级……01…本…升……专…、… 级90科工理 级班用适卷试 山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准（ C ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第3页 共3页
?九、（10分）设 ?1?2?4??得分 得分 七、（10分）设矩阵A???2x?2???与???5?4?? 求阅卷人 阅卷人 ???4?21???y?相似???????1? ?2??3? ? ? ? ??n?x,y. ??2??1 ??3? ? ? ? ??n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 解 已知相似矩阵有相同的特征值，显然5,?4,y是?的特征值? 故它们也是A的特征值。所???n??1??2??3? ? ? ? ??n?1以 证明：向量组?1, ?2, ? ? ? , ?n能由向量组?1, ?2, ? ? ? , ?n线性表示? 5?2?4 证明：将已知关系写成 |A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0? ?011???1?4?25???101???1??解之得x?4. ------------------（5分） (?1, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2, ? ? ? , ?n)?110???1?------------（3分） 已知相似矩阵的行列式相同? 因为 ??????????????????? 1?2?45???111???0??|A|??2?4?2??100? |?|??4??20y? 将上式记为B?AK?因为 ?4?21y011???1所以?20y??100,y?5? ------------------（5分） 101???1|K|?110???1?(?1)n?1(n?1)?0? -------------- （3分） 得分 八、（10分）判定二次型f??5x2?6y2?4z2????????????????4xy?4xz的正定性。 阅卷人 111???0 ??522?所以K可逆? 故有A?BK?1? 解 二次型的矩阵为A???2?60?? --------------（3??20?4?分） ?所以向量组?1, ?2, ? ? ? , ?n能由向量组?1, ?2, ? ? ? , ?n线性表示。 ?因为 -------------------------- （4分） a211??5?0? ?52?6?26?0? |A|??80?0? 所以f为负定。 --------------（7分）
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