（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 过B作BE⊥x轴，E为垂足 由△BEO∽△OCM，得：
OCOM5?，?OC?， OBOE4B 55??5?? 同理：OD?，?C?，0?，D?0，??
22??4?? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)
C M D A Ｅ 图1 5 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?．
2第26题
（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
1点的直线y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
2
抛物线与直线只有一个交点，
21?1? ?????4?(m?6)?0，
4?2?125x?中， 24 设O到GH的距离为d，
?P到AB的距离等于O到GH的距离d．
在直线GH：y??B 与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, A ）,CG H 另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高P h最大（h（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
图2
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?0，10?，，?84?，顶点C，D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，0?出发，沿
x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时
间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90的点P有 个．
?b4ac?b2?，（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是???．
4a??2a2
[解] （1）作BF?y轴于F． A?010，?，B?8，4?， ?FB?8，FA?6． ?AB?10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒． 又AB?1010 ，?10?1．图①
?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．
图②
GAAPGAt，即??．
FAAB6103?GA?t．
53?OG?10?t．
5?OQ?4?t，
?S?113???OQ?OG??t?4??10?t?． 225??即S??3219t?t?20． 10519b19195????，且0≤≤10， 2a3?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 3476331此时GP?t?，OG?10?t?，
51555（8分）
?7631??点P的坐标为?，?．
?155?方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?设所求函数关系式为S?at2?bt?20． 抛物线过点?10，28?，?5，?，
163． OGOQ?22??63?2??S??3219t?t?20． 10519b19195????，且0≤≤10， 2a3?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631此时GP?，OG?，
155?7631??点P的坐标为?，?．
?155?（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
．
5. 如图①，Rt△ABC中，?B?90，?CAB?30．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点
53)，AB?10，点P从点A出发，沿A?B?C的方向匀速运动，同B的坐标为(5，时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停
止运动，设运动的时间为t秒． （1）求?BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标． （4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点
P沿这两边运动时，使?OPQ?90的点P有几个？请说明理由．
y C B Q D x O A （第29题图①） 解: （1）∠BAO?60．
（2）点P的运动速度为2个单位/秒． （3）P(10?t，3t)（0≤t≤5）
P 10 t O 5 （第29题图②） S 30
?9?121． ???t???4?2??当t?29121时，S有最大值为， 24?1193?此时P?，?22??．
??（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90的点P有2个． ①当点P与点A重合时，∠OPQ?90，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度， 作∠OPM?90交y轴于点M，作PH?y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM?203?11.5， 3所以OQ?OM，从而∠OPQ?90．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ?90的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ?12?103?17.8． 3而构成直角时交y轴于?0，???353?353?20.2?17.8， ，??33?第29题图①
所以∠OCQ?90，从而∠OPQ?90的点P也有1个． 所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90的点P有2个． 6. （本题满分14分）如图12，直线y??4x?4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已3知二次函数的图象经过点A、C和点B??1,0?.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
3个单位长度的速度沿折线OAC 2按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→
当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒A的路线运动，
时，?ODE的面积为S .
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = . 解：（1）令x?0，则y?4；
令y?0则x?3．∴A?3，0?．C?0，4? ∵二次函数的图象过点C?0，4?， ∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点A?3，0?．B??1，0?
?0?9a?3b?4，∴?
0?a?b?4．?解之，得a??48，b?． 33
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)88203
