高考数学 第2讲 直接证明与间接证明
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·中山调研)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
( )．
1?2?
解析 若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4?a－2?＋1≤1；若“4ab≤1”，
??取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件． 答案 A
2．(2013·金华十校联考)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是
( )．
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m?α，n∥α，则m∥n
D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
解析 对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m?α，n∥α，则m∥n”． 答案 C
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 A．2ab－1－ab≤0 ?a＋b?2
C.2－1－a2b2≤0
22
2
( )．
a4＋b4
B．a＋b－1－2≤0
2
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析 因为a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故选D. 答案 D
第 1 页 共 6 页
4．(2013·四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是 A．②③
B．①②③
C．③
( )．
D．③④⑤
12
解析 若a＝2，b＝3，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1， 则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．
解析 “至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．
答案 a，b中没有一个能被5整除
6．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________． 解析 取a＝2，b＝1，得m a－b 7．(12分)若a，b，c是不全相等的正数，求证： a＋bb＋cc＋a lg2＋lg2＋lg2＞lg a＋lg b＋lg c. 证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， 第 2 页 共 6 页 a＋bb＋ca＋c ∴2≥ab＞0，2≥bc＞0，2≥ac＞0. 又a，b，c是不全相等的正数， 故上述三个不等式中等号不能同时成立． a＋bb＋cc＋a ∴2·2·2＞abc成立． 上式两边同时取常用对数， ?a＋bb＋cc＋a?得lg?·2·2?＞lg(abc)， ?2? a＋bb＋cc＋a ∴lg2＋lg2＋lg2＞lg a＋lg b＋lg c. 8．(13分)(2013·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 2 (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则S2＝S1S3， 2即a1(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，这与公比q≠0矛盾， 所以数列{Sn}不是等比数列． (2)解 当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列； 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，这与公比q≠0矛盾． 第 3 页 共 6 页 B级 能力突破 (时间：30分钟 满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 111 1．(2013·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋b，b＋c，c＋a( )． A．都大于2 B．都小于2 D．至少有一个不小于2 C．至少有一个不大于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0， 1??1??1??1??1?? ∴?a＋b?＋?b＋c?＋?c＋a?＝?a＋a?＋?b＋b?＋ ?????????? ?1??c＋c?≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至??少有一个不小于2. 答案 D 2．(2012·滨州期末)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则 ( )． A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 解析 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形． ???π?不妨令?sin B＝cos B＝sin?2－B?， ?? ??π? －C??，sin C＝cos C＝sin??2? 2 1 1 2 1 1 ?π? sin A2＝cos A1＝sin?2－A1?， ?? ??π 得?B＝2－B， π?C＝?2－C. 2 1 2 1 π A2＝2－A1， π 那么，A2＋B2＋C2＝2，这与三角形内角和为π相矛盾． 所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形． 答案 D 二、填空题(每小题5分，共10分) 19 3．(2013·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 19 解析 ∵a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1， ?19??9ab?∴a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝10＋?b＋a?≥10＋29＝16，∴a＋b的最小值为16. ????∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案 (0,16] 4．(2012·金华一模改编)已知下表中的对数值有且只有一个是错误的. x lg x 3 2a－b 5 6 8 3(1－a－c) 9 2(2a－b) a＋c－1 1＋a－b－c 试将错误的对数值加以改正________． 解析 由2a－b＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a－b)从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a＋c－1错误，则由 ?1＋a－b－c＝lg 6＝lg 2＋lg 3，?lg 2＝1－a－c， ?得? ?3?1－a－c?＝lg 8＝3lg 2，?lg 3＝2a－b， 所以lg 5＝1－lg 2＝a＋c.因此lg 5＝a＋c－1错误，正确结论是lg 5＝a＋c. 答案 lg 5＝a＋c 三、解答题(共25分) 5．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋b. (1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)； 1(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2 (1)解 ∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9， ∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2. 1 (2)证明 假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于2. 111111则－2 ∴－1<－2f(2)<1，－1 6．(13分)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数． (1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值； (2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明． 解 (1)取x1＝x2＝0可得f(0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0， 又由条件①得f(0)≥0，故f(0)＝0. (2)显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0； 也满足条件②g(1)＝1. 若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1， 则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] ＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)] ＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0， 即满足条件③，故g(x)是理想函数． 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
《创新设计》2024届高考数学人教A版（理）一轮复习：第十二篇 第2讲 直接证明与间接证明
