2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 .
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 （打印并签名 ） ： 1.
2. 3.
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名 ）：
日期： 年 月 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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评阅人评分
备注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
一个给足球队排名次的方法
戚立峰 毛 威 马 斌
（北京大学数学系 ,100871 ）
指导教师 樊启洪
摘 要 本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型． 它首先用来排 名次的数据是否充分做出判断 , 在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计 , 然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．
文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响 , 基 本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象． 文中还证明了模型的稳 定性, 这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本 模型比较完满地解决了足球队排名次问题 , 而且经过简单修改 , 它可以适用于任 何一种对抗型比赛的排名．
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§ 1 问题的提出及分析
本题的表 1 给出的是我国 12支足球队在 1988-1989 年全国甲级联赛中的成 绩,要求通过建立数学模型 , 对各队进行排名次．
按照通常的理解 , 排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的 一个顺序．为达到这一点 , 一个好的排名算法应满足下面一些基本要求：
（1）保序性；（ 2）稳定性；（3）能够处理不同场比赛的权重； （4）能够判 断成绩表的可约性；（ 5）能够准确地进行补残； （6）容忍不一致现象；（7）对数 据可依赖程度给出较为精确的描述．
可以想象 , 各队的真实实力水平在成绩表中反映出来 （见§ 3假定Ⅱ）, 所以 根据排名目的 , 我们要求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的 这就是要求（ 1）．
也就是说 , 如果 a 比 b 表现出色 ,a 的名次就应排在 b 前面．但 a 比 b 出色不 能只是由 a 对 b 这一场比赛所决定 , 必须参考 a,b 相对于其他队的成绩 , 像 a 平 c,c 胜 d,d 平 b 这组比赛对 a,b 的相对表现是有影响的． 为使一个算法满足保序 性, 就必须充分考虑到将 a,b 连结起来的所有场比赛．下面的例子表明积分法布 满足保序性．
例1 a 平 c,c 胜 d,d 平 b,a 平 b．
在上述比赛中 a 表现应比 b 出色, 但按积分法计算 a,b 都积 2 分．其原因就 在于积分法没有把 a平 c,c 胜d,d 平b这组比赛中所体现的 a,b 实力对比情况考 虑进去；
要求（ 2）就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响．这是由于 球队发挥水平存在正常波动而必须提供的 , 如果这种正常的小波动引起名次的巨 大变化, 那么排名就不令人信服；
要求（ 3）使得不同场比赛在排名中的地位不同 , 这是因为在实际比赛中 ,往 往会有的队不幸遇到较强的队而输掉． 为了避免由于对手的强弱不同造成的不公 平,要求（3）是必须的．但现在的排名制度大都满足不了要求（ 3）, 以至于许多 时候“运气”对名次起了重要作用；
要求（ 4）—（ 7）是为了适应实际比赛中可能会出现在一些复杂情况而提 出的．
首先是可能某两个队之间没有打比赛 , 我们称之为数据（成绩）残缺．对于 两队成绩残缺 , 只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力比较．如果 残缺元素过多 , 就有可能导致参赛队分成两组 , 组与组之间没有比赛 , 称这种情况 为成绩表可约 , 这时显然是不应该排名次的．这样就有要求（ 4）, （5）； 其次是前后比赛成绩矛盾 ,比如说 a胜b,b 胜c,c 平a,称这种情况为数据不 一致．如果不一致的情况过于严重 , 说明比赛偶然因素太大 , 数据的可依赖程度太 低,应该考虑放弃比赛成绩．所以排名算法还应满足（ 6）, （7）．
本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求 ,下面将在§ 2 中给 出具体算法．§ 3 中给出算发满足上述要求的解释和论证．
§ 2 模型设计及其算法
一、基本假设和名词约定 假设Ⅰ 参赛各队存在客观的真实实力（见名词约定1）．这是任何一种排
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名算法的基础．
假设Ⅱ 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的 真实实力对比为中心的互相对立的正态分布． （见名词约定 2）
这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名 另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性．
名词约定
1 ．称w=（ w1, w2,? , wn ）为真实实力向量 ,如果 wi的大小表现了 Ti的实力
强
弱．当wi的大小表现了 Ti 在比赛中出色程度时 ,称w为排名向量．由假设Ⅱ ,两者 应是近似相同的 , 以后就把它们当成同一个．
2 ．称Ti对Tj这场比赛中体现出来的 Ti 对Tj的相对强弱程度为 Ti对Tj的表
面实力对比 ,一般记作 aij ,当Ti对Tj成绩残缺是约定 aij ＝０．显然地有
1
(i)aij 0,( ii )a ji ,(iii )aii 1.
1aij
2.1)
矩阵Ａ＝ （aij）n n就称为比赛成绩的判断矩阵 ,它是可以通过各种方法（见§ ５）从比赛成绩中求出来的．
由假设Ⅱ,若Ti 对Tj成绩不残缺且 wi wj 1时有
aij ~ N（wi wj, i2j ）
（2.2）
这里 w 是真实实力向量．
3 ．称方阵 An n 为正互反对称的 , 若（1） aij >0,（2）aji , 1 i, j n ．显 ij
1
a
1
然一个无残缺的比赛成绩的判断矩阵是正互反对称的．
A0
4 ．称矩阵An n是可约的,若A能用行列同时调换化 A1 A ,这里A1, A4都 2 4
A
A
是方阵,在[1] 的 227页证明了一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约．
5 ．称判断矩阵 A是一致的,若对任意1 i,k, j n满足aij ajk aik ．显然地,A 一致
则存在 w, 使得
(i)nn
w
nn
2.3)
wj
6 ．称矩阵 A的最大正特征根 max为主特征根； 对应于 max的右特征向量 w
n
称为主特征向量 , 若 wi 1 且 wi >0．
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数学建模B题球队排名问题答案详解
