第 一 章 一阶微分方程得解法得小结
⑴、可分离变量得方程： ①、形如
当时,得到,两边积分即可得到结果; 当时，则也就是方程得解。 例1、1、
解:当时,有,两边积分得到 所以
显然就是原方程得解; 综上所述,原方程得解为 ②、形如
当时,可有,两边积分可得结果;
当时,为原方程得解,当时，为原方程得解。 例１、2、
解：当时，有两边积分得到 ,所以有；
当时,也就是原方程得解； 综上所述,原方程得解为。
⑵可化为变量可分离方程得方程: ①、形如
解法：令,则,代入得到为变量可分离方程,得到再把u代入得到。 ②、形如
解法：令,则,代入得到为变量可分离方程,得到再把u代入得到。 ③、形如 解法:、，转化为，下同①; 、,得解为,令 得到,,下同②; 还有几类:
M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0,x?rcos?,y?rsin?
以上都可以化为变量可分离方程。 例2、1、
解：令，则,代入得到，有 所以,把u代入得到。 例2、2、
解:由得到,令,有,代入得到
，令,有，代入得到,化简得到,,有,所以有，故代入得到 (3)、一阶线性微分方程： 一般形式: 标准形式：
解法:1、直接带公式:
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dxQ(x)dx?e??P(x)dx(e?P(x)dxQ(x)dx?C) y?Ce??e?e??2、积分因子法:
,
３、IVP：,
y?e??x0P(s)dsx(?Q(t)ex0x?x0P(s)dsxdt?y0)?y0e??x0P(s)dst??Q(t)ex0x?x0P(s)dstdt
例3、
解:化简方程为:,则 代入公式得到
所以，y(x)?(x?1)n[(x?1)?nex(x?1)ndx?C]?(x?1)n(ex?C)?(C为常数)
(4)、恰当方程:
形如M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,?G(x,y),s.t.dG?M(x,y)dx?N(x,y)dy 解法:先判断就是否就是恰当方程:
如果有恒成立,那么原方程就是个恰当方程,找出一个 ,
有; 例4、
解：由题意得到,
由得到,原方程就是一个恰当方程; 下面求一个
由得，两边对y求偏导得到,得到,有， 故,由,得到
(5)、积分因子法:
方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,??(x,y),s.t.?Mdx??Ndy?0是一个恰当方程,那么称就是原方程得积分因子;积分因子不唯一。
①当且仅当,原方程有只与x有关得积分因子,且为,两边同乘以,化为恰当方程,下同(4）。 ②当且仅当,原方程有只与y有关得积分因子,且为,两边同乘以,化为恰当方程，下同（４）。 例5、１、
解：由得,且有，有,原方程两边同乘,得到化为,得到解为
例5、2、
解：由题意得到,，有
有，有,原方程两边同乘,得到,得到原方程得解为:
(6)、贝努力方程： 形如,
解法:令,有,代入得到,下同（3） 例6、
解:令,有,代入得到,则,
有,,把ｕ代入得到、 (7）、一阶隐式微分方程:
一般形式：,解不出得称为一阶隐式微分方程。 下面介绍四种类型: ①、形如,
一般解法:令,代入得到,两边对x求导得到,这就是关于x，p得一阶线性微分方程,仿照(3), 1、得出解为,那么原方程得通解为
２、得出解为,那么原方程得通解为
３、得出解为,那么原方程得通解为
②、形如
一般解法:令,代入有,两边对ｙ求导,得到，此方程就是一阶微分方程,可以按照以上(1)—(５）求出通解,那么原方程得通解为
③、形如
一般解法:设,,两边积分得到，于就是有原方程得通解为
④、形如
一般解法：设，由关系式得,有,两边积分得到,于就是有
例7、１
解:令,得到,两边对y求导,得到, 有，得到,于就是通解为
例7、2
解:令,得到,两边对ｘ求导,得到,有 ，两边积分得到，于就是通解为
例７、３ 解:设有，所以
于就是通解为
例7、4
解:设有，所以
于就是通解为
(8）、里卡蒂方程： 一般形式:
一般解法:先找出一个特解，那么令,有，代入原方程得到 ,
化简得到 ,为一阶线性微分方程,解出
那么原方程得通解为
例8
解:我们可以找到一个特解,验证:,代入满足原方程。 令,,代入有,
化简得到,,所以有 所以原方程得解为
或
一阶常微分方程解法总结
