人教版高中数学选修2-2
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、基础达标
1.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( ) A.1 C.－1 [答案] B
B.0 D.－1或1
??m?m＋1?＝0
[解析] 由题意知?，∴m＝0.
2
?m－1≠0?
2.设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”.“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立.所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
3.以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i C.2＋i [答案] A
B.－5＋5i D.5＋5i
1
人教版高中数学选修2-2
[解析] 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A. 4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2xy的值为( ) 1A. 2C.0 [答案] D
[解析] 由复数相等的充要条件知，
B.2 D.1
＋
???x＋y＝0，?x＝1，
解得? ?
???x－1＝0，?y＝－1，
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5.已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________. [答案] 2 ±2
2??－3＝n－3m－1[解析] 由z1＝z2得?，
2
??－4＝n－m－6
??m＝2
解得?.
??n＝±2
6.设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________. [答案] －2
2??m＋m－2＝0[解析] ??m＝－2.
2
?m－1≠0?
7.已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值. 解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0， 1???x＝2，?2x－y＋1＝0，
∴?解得? ?y－2＝0.???y＝2.
1所以实数x，y的值分别为，2.
2二、能力提升
8.若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
2
人教版高中数学选修2-2 A.1 C.±1 [答案] A
3??x－1＝0，
[解析] 由题意，得?解得x＝1.
2??x＋3x＋2≠0.
B.－1 D.－1或－2
9.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) π
A.2kπ－(k∈Z)
4π
C.2kπ±(k∈Z)
4[答案] B
π
B.2kπ＋(k∈Z)
4kπ
D.π＋(k∈Z) 24
??sin 2θ－1＝0
[解析] 由题意，得?
??2cos θ＋1≠0
?θ＝kπ＋4
，解得?3π
θ≠2kπ±?4
π
π
(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
4
10.在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________. ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根. [答案] 1
[解析] 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错.
2m2＋m－3
11.实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚
m＋3数.
解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
2??m－3m－18＝0
故若使z为实数，则?，
m＋3≠0??
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数.
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
3
高中数学选修2-2课时作业7：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
