绝密★启用前
A. B. C. D.
7. 为计算,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入
2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. A.
B.
C.
D. ,则中元素的个数为
A.
B.
C.
D.
8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如的数,其和等于30的概率是
A. B. C. D. 9. 在长方体
中,
,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为
.在不超过30的素数中,随机选取两个不同
2. 已知集合
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 3. 函数
的图像大致为
A. B. C. D. 10. 若
在
是减函数,则的最大值是
A. B. C. D. 11. 已知A.
4. 已知向量,满足
,
,则
是定义域为
的奇函数,满足
.若
,则
B. 0 C. 2 D. 50
的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直,则的离心率为
12. 已知,是椭圆线上,
为等腰三角形,
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5. 双曲线A. 6. 在
的离心率为,则其渐近线方程为
B. 中,
,
,
C.
,则
1
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 曲线
在点
处的切线方程为__________.
D.
14. 若15. 已知
满足约束条件
,
则,则,
的最大值为__________. __________.
与圆锥底面所成角为45°,若
的
19. 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
20. 如图,在三棱锥(1)证明:(2)若点在棱
平面
中,;
为
,求
与平面
所成角的正弦值.
,
,为
的中点.
16. 已知圆锥的顶点为,母线面积为
所成角的余弦值为,
,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17. 记为等差数列 (1)求
的前项和,已知
,
.
上,且二面角
的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
21. 已知函数(1)若(2)若
.
时,
;
,证明:当在
只有一个零点,求.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系参数).
中,曲线的参数方程为
(为参数),直线的参数方程为
(为
为了预测该地区2024年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为年至2016年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型①:
.
;根据2010
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为
23. [选修4-5:不等式选讲] 设函数 (1)当 (2)若
2
,求的斜率.
)建立模型②:
(1)分别利用这两个模型,求该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
.
时,求不等式
的解集;
,求的取值范围.