圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1．设函数f(x)??ln(2?t)dt
0x2
则f′（x）的零点个数为（A．0B．1C．2D．3【答案】B【考点】函数求导公式）。【解析】由题意得f′（x）＝2xln（2＋x2），且ln（2＋x2）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。2．函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（A．i→
）。1/287圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台B．－iC．j→
→
D．－j→
【答案】A【考点】梯度的定义和求法【解析】由梯度定义得xx??
??arctany??arctany??
gradf(x,y)|(0,1)??i?j?
?x?y??????
?1x??2?yy???i?22?x?x??1??1?????y?
?y????
?
???j????
??i
(0,1)
(0,1)
3．在下列微分方程中，y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解的是（）。A．y?＋y″－4y′－4y＝0B．y?＋y″＋4y′＋4y＝0C．y?－y″－4y′＋4y＝0D．y?－y″＋4y′－4y＝0【答案】D2/287圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【考点】齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解【解析】因为y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ3－λ2＋4λ－4＝0。故微分方程为y?－y″＋4y′－4y＝0。4．设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛C．若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛D．若{f（xn）}单调，则{xn}收敛【答案】B【考点】极限收敛的单调有界定理）。【解析】对于B项，若{xn}单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界知，{f（xn）}单调有界，从而收敛。故选择B项。5．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（A．E－A不可逆，E＋A不可逆B．E－A不可逆，E＋A可逆C．E－A可逆，E＋A可逆D．E－A可逆，E＋A不可逆【答案】C【考点】矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则3/287）。圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【解析】由A3＝O得，A3＋E＝E?（A＋E）（A2－A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A3＝O得，A3－E＝－E?（E－A）（A2＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。?x???6．设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程?x,y,z?Ay?1在正交变换????z??下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（）。图1A．0B．1C．2D．3【答案】B【考点】考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系【解析】图1为双叶双曲面，其方程的标准型为4/287圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台x?2y?2z?2?2?2?12abc在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。7．设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（）。A．F2（x）B．F（x）F（y）C．1－[1－F（x）]2
D．[1－F（x）][1－F（y）]【答案】A【考点】分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x）8．设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρXY＝1，则（A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝15/287）。
考研数学(一)历年真题详解【圣才出品】
