构建物理力学模型学习 数学平面向量、空间向量
刘朝阳
湖北省荆州市洪湖市文泉中学
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构建物理力学模型学习 数学平面向量、空间向量
摘要：向量是近代数学中基本的概念之一,有着深刻的物理背景.通过构建物体受力分析模型，来学习并掌握三个向量基本定理.构建力做的功模型，来学习并掌握向量的点积公式，一个向量在另一个向量上的投影.构建物理光学反射模型，简化空间立体几何中平面法向量的作图，将空间问题平面化，化繁为简，用平面向量知识求空间中的夹角、距离.
关键词：物理模型，向量，向量的点积，投影定理，平面法向量，夹角，距离.
向量是近代数学中基本的概念之一，有着深刻的物理背景，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.物理中的位移、力、速度等矢量的合成可以看作是向量加法（三角形法则和平行四边形）法则的物理模型.既然有如此多的物理背景模型，那我们就可以先找一找向量的三个基本定理的物理模型.
一、用绳子吊物保持平衡的模型来总结向量的三个基本定理.
根据已掌握的物理知识，构建共线向量，共面向量，空间向量的模型如图1-1、图1-2、图1-3，即一维空间一根绳吊物、二维空间二根绳吊物、三维空间三根绳吊物.
其中 e1、 e2、 e3 是绳上的三个单位向量，或任意长度（大小）的基向量.由以上三个物理模型，很容易理解并牢记共线向量、平面向量、空间向量分别用一维向量、二维向量、三维向量作为基底，来线性表示另一个向量G. A 例1． 如图，在?ABC中，AH?BC于H，M为AH的中点，若
AM??AB??AC，则????_________
M B H C
图1-4
解答： B,H,C三点共线，?AH?t1AB?t2AC，且t1?t2?1， 又AM?
点评：用已知的线段的长度和它们的夹角作为基向量的大小和方向，线性表示其它的任一向量.通过线性运算和数量积运算可以解决求解向量的模长和向量间夹角的问题.
二、物理中力做的功与向量的点积和投影定理.
11tt1AH?1AB?2AC，?????(t1?t2)?.
22222
我们知道，如图2-1，如果一个物体在力F的作用下产生位移S，且F和位移S的夹角为θ，那么F所做的功为W=∣F∣×∣S∣×cosθ.而功是一个标量，它由矢量力F和位移S两个向量确定，可以看作两个向量F、S 的一种运算.在数学中定义： a·b=∣a∣×∣b∣×cosθ，θ为a、b 的夹角.记住了功的公式，也就会用点积公式.∣b∣×cosθ为OB在OA上的投影OB1 则OB1=
abcosqa×b 功有正功，负功和零功之分，则投影也应有正,负,零之分. =aa例2：（2013高考湖北卷第6题）已知A（-1、1）B（1、2）C（-2、-1）D
（3、4）则向量AB 在 CD 方向上的投影为：
A.322 B.
???3315 C. -22?2 D.-315 2解：ABAB×CDCD? =（2、1）CD =（5、5）则所求为
=1532 。 =252点评：掌握了投影公式的实质，可以轻松解决此题.
三、用平面法向量的物理背景来简化作图，分析转化问题.
在物理光学中，反射角等于入射角，如图3-1.即反射光线、入射光线与镜面的法线所成的夹角相等.
在立体几何中，直线?的位置可以由?上一个定点A和它的一个方向向量确定.如图3-2平面α的位置可以由α上的一个定点O和它的一个法向量来确定，而向量是自由的，可以用平面α的垂线的方向向量来代替.那么，我们可以用直线的方向向量与平面的法向量来求解有关空间点、直线、平面的距离、角度问题.在具体求二面角的大小、点面距、线面角时，如用平面法向量模型转化为平面图形，用镜面表示平面，用法线表示法向量（垂线），那么二面角α-?-β的平面角θ，A到面α的距离AO，AB和面α所成角β可用图3-3,3-4,3-5来表示.
bq=
例3：如图 3-6，四棱锥P?ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45?， F是PB的中点，E是BC上的动点.
（Ⅰ）证明：PE^AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=23AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小.
解答：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系. 设AP=AB=2，BE=a 则A（0，， 0，0）B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1）于是，PE=(a,2,-2)，AF=(0,1,1)， z E（a，2，0）则PE?AF0，所以AF^PE.
（Ⅱ）若BC=2BE=23AB，则D(43,0,0)，PD=(43,0,-2),PE=(23,2,-2)，
y 设平面PDE的法向量为n=(x,y,z)， B A ì?n?PD0?43x-2z=0?E 由?，得：í， ?D Cèn?PE0?23x+2y-2z=0图 3-6 x 令x=1，则z=23,y=3， ??P 于是n=(1,3,23)，而AP=(0,0,2)
设AP与平面PDE所成角为?，所以sinq=所以AP与平面PDE所成角?为60?.
|n×AP|3， =2|n||AP|点评：利用立几图形平面化，可以简化作图，更清晰的知道用法向量求出的是哪
一个角，最终所要求解的是哪一个角.
z A1 D1 例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. ⑴求点C1到平面AB1D1的距离；
⑵求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角 (结果用反三角函数值表示).
解答：解 ⑴按如图所示建立空间直角坐标系， 可得有关点的坐标为A(0，0，0)、D1(0，a，a)、
AD1=(0，a，a)，AB1=(a，0，a). B1 A C1 D y C B1(a，0，a)、C1(a，a，a)，向量C1A=(-a，-a，-a)， B x 图 3-7 设n?(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，于是，有 ìì?n?AD10?ay+az=0，即í. íax+az=0????n?AB10令z=-1，得x=1，y=1.于是平面AB1D1的一个法向量是
n=(1，1，-1).
|C1A×n|3=a. 3|n|点评：利用立几图形平面化，简化作图，如图 3-4.用向量的投影长公式轻松解决点到平面的距离.
，，-1).又因AD^平面CDD1C1，故⑵ 由⑴知，平面AB1D1的一个法向量是n=(11因此，C1到平面AB1D1的距离d=平面CDD1C1的一个法向量是n1=(010)，，.
设所求二面角的平面角为?(结合图形可知二面角是锐角，即?为锐角)，则
|n×n1|3cosq==.
3|n||n1|3. 3点评：利用立几图形平面化，简化作图，如图 3-3.解决二面角的平面角的大小问题.
四、用物理背景，数学模型共解数理综合题.
例1：人教A能反选修2-1Р107例题3，如图4-1，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60o，且∣F1∣=∣F2∣=∣F3∣=200 kg,这块钢板在这些力的作用下会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
所以，平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角为arccos
由图形的特点，△ABC是正三角形，过A、B、C的三个力分别和三角形相邻的二边成60°.合力方向向上作用点在钢板的重心O处，因此，只要计算各分力的向上分力和水平面分力，然后求和即可.何不建立正四而体图形，如图4-2，令棱长为力的大小值等于200，则
而 AV=AO+OV ,BV=BO+OV，CV=CO+OV 且AO+BO+CO=0 故AV+BV+CV=3OV即求正四面体的高线OV的大小的3倍和物体的重力比较.由数学知识，AB=200，AO=2?333?200=200?323
则VO=200?1(32)3=200?2 故∣F合∣=200?2?3=2006
3即合力的大小为分力F1、F2、F3的6倍，在∣F1∣=200kg时提不起. 在∣F1∣×6＞500时能竖直向上提起钢板.
点评：通过物理背景分析，构建正四面体模型、结合物理知识，很方便快捷解决此题.
参考文献
1 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 2-1 A 版 2 普通高中课程标准实验教科书 物理 必修 1 A版
构建物理力学模型学习
