?DA?与平面BCC?B?所成角的正弦值为1010．
20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn?an?1(n?N*)． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c11n?1?a?，T为数列{cn项和．求证：T1nn}的前n?2n?．n1?an?13【解答】解：（Ⅰ）Q2S1n?an?1(n?N*)，令n?1，得a1?3，
又2Sn?1?an?1?1(n…2)，两式相减，可得2an?an?an?1?0， 得
ana?1， n?13?a1nn?(3)；
（
Ⅱ）证
明：第16页（共18页）
Q
113n3n?11111cn???n?n?1?2?n?n?1?2?(n?n?1)．
113?13?13?13?11?()n1?()n?13?13?133又Q111111，，???c?2?(?)， n3n?13n3n?1?13n?13n3n?1111111111． )?(?)???(?)]?2n???2n?33232333n3n?13n?133?Tn?2n?[(??Tn?2n?1． 321．（15分）设点A，B的坐标分别为(?4,4)，(?8,16)，直线AM和BM相交于点M，且
AM和BM的斜率之差是1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过轨迹C上的点Q(x0，y0)，y0?4，作圆D:x2?(y?2)2?4的两条切线，分别交x轴于点F，G．当?QFG的面积最小时，求y0的值． 【解答】解：（1）设M(x,y)，由题意得
y?4y?16??1． x?4x?8化简得点M的轨迹C的方程为：x2?4y(x??8,x??4)．
（Ⅱ）由点Q(x0，y0)(y0?4)所引的切线方程必存在斜率，设为k． 则切线方程为y?y0?k(x?x0)，即kx?y?y0?kx0?0．
kx0?y0,0)， k|?2?y0?kx0|而圆心D到切线的距离d??2，
2k?1其与x轴的交点为(22?4)k2?2x0(2?y0)k?y0?4y0?0①， 整理得：(x0切线QF、QG的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两根， 故，
而切线与x轴的交点为(kx?y0kx?y0kx0?y0,0)，G(20,0)， ,0)，故F(10k1k2k1又Q(x0，y0)(y0?4)，S?QFG?g|xF?xG|g|yQ|，
2?
S?QFG1k1x0?y0k2x0?y01k1?k212(k1?k2)212(k1?k2)2?4k1k22?g|?|g|y0|?g||g|y0|?y0?y02k1k22k1k22(k1k2)22(k1k2)2，
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将(*)代入得S?QFG22222(y0?2)2?4(x0?4)(y0?4y0)2y0x0?y0?4y0124x0， ?y0?22(y0?4y0)2y0?42?4y0(y0?4)， 而点Q在x2?4y(x??8,x??4)上，故x0?
S?QFG22y0[(y0?4)?4]2(y0?4)2?8(y0?4)?161616??2?2[]?2(y0?4??8)…4(y0?4)g?16?32y0?4y0?4y0?4y0?4y0?4，
当且仅当，即y0?8时等号成立．
2?4y0，?x0??42， 又x0故当点Q坐标为(?42,8)时，(S?QFG)min?32．
22．（15分）已知函数f(x)?alnx?bx?c(a?0)有极小值． （Ⅰ）试判断a，b的符号，求f(x)的极小值点；
4ac?b2（Ⅱ）设f(x)的极小值为m，求证：m?a?．
4aaa?bx【解答】解：（Ⅰ）Qf?(x)??b?，x?0．
xx又函数f(x)?alnx?bx?c(a?0)有极小值点．
a?b?0，a?0，f(x)的极小值点为?．
ba（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m?f(?)，
b4ac?b2a4ac?b2， m?a??f(?)?a?4ab4aab2ab2a1b?aln(?)?a?c?a?c??aln(?)??a[ln(?)?()2]．
b4ab4ab4aa1令??t，g(t)?lnt?2，t?0．
4tb112t2?1则g?(t)??3?．
t2t2t3令g?(t)?0，得t??g(t)…g(222,??)单调递增． ，g(t)在(0,)单调递减，在(222221)?ln()??0． 2224ac?b2． Qa?0，?ag(t)?0，?m?a?4a第18页（共18页）
2024-2024学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷
