湖南省岳阳市2017届高三数学一模考试试题 理
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合A???2,0,2?B?x|2?x2?2x?3?1，则AB?
? A. ?0? B. ?2? C. ?0,2?D.??2,0?
2.已知复数z满足z?i?2?i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3.已知?,?表示两个不同的平面，m为平面?内的一条直线，则“m??”是“???”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数f?x??x满足f?2??4，那么函数g?x??loga?x?1?的图象大致是
?
?y?2?5.若变量x,y满足不等式组?x?y?1，且z?3x?y的最大值为7，则实数a的值为
?x?y?a? A. 1 B. 7 C. ?1 D.?7 6.已知函数f?x??sin?2?x?????????0?的最小正周期为4?，则 6? A. 函数f?x?的图象关于点?????,0?对称 B.函数f?x?的图象关于直线x?对称 C.
6?6?函数f?x?的图象???????,??上单调递减 D. 函数f?x?的图象?,??上单调递增 ?2??2?7.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001,002，，500，
采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为
A. 14 B. 15 C. 16D.17
8.某四面体的三视图如图2，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是
A.12? B. 43? C.48? D. 323? 9.某一算法框图如图3，输出的S值为 A. 33 B. ? C. 3 D.0 222210.已知圆C:?x?3???y?4??1和两点
A??m,0?,B?m,0??m?0?.若圆上存在点P使得PA?PB?0，
则m的取值范围是
A. ???,4? B. ?6,??? C. ?4,6? D.?4,6? 11.在平面直角坐标系xoy中，双曲线
x2y2C1:2?2?1?a?0,b?0?的渐近线与抛物线C2:y2?2px?p?0?交于点O,A,B，若?OABab的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为
A.
3553 B. 5 C. D. 52212.定义：如果函数f?x?在?a,b?上存在x1,x2?a?x1?x2?b?满足f??x1??f?b??f?a?，
b?af??x2??f?b??f?a?11则称函数f?x?是?a,b?上的“中值函数”.已知函数f?x??x3?x2?mb?a32是?0,m?上的“中值函数”，则实数m的取值范围是
A. ?
?3??33??3??3?,1? B. ?,? C. ?1,? D.?,??? ?4??42??2??2?第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A?60,b?4,S?ABC?23，则a?.
1??14.若二项式?x??的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为.
x??15.矩形OABC的四个顶点坐标依次为O?0,0?,A?n??????,0?,B?,1?,C?0,1?，线段OA,OC及2???2????y?cosx?0?x??的图象围成的区域为?，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内
2???的概率为.
16.定义在?0,???上的函数f?x?满足：①当x??1,2?时，f?x??13?x?；②?x??0,???都22有f?2x??2f?x?.设关于x的函数F?x??f?x??a的零点从小到大依次为x1,x2,x3,若a??xn,，
?1?,1?，则x1?x2?2???x2n?.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列?an?前n项和Sn满足：2Sn?an?1. （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?
2，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：Tn?2.
log3an?log3an?1
18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立
方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据 ，数据统计如右表：
（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图4. ①求图4中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.
（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）如图5，已知长方形ABCD中，AB?22,AD?2,M为DC的中点，将
?ADM沿AM折起，使得平面ADM?平面ABCM.
（1）求证：AD?BM;
（2）若点E是DB线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角E?AM?D的余弦值为
5. 5x2y2620.（本题满分12分）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的两个焦点为F1,F2，离心率为，点ab3A,B在椭圆上，F1在线段AB上，且?ABF2的周长等于43.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O:x?y?4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N，求?PMN面积的最大值.
21.（本题满分12分）已知函数f?x??ln?x?1??22ax2?x?1?x?2
（1）当a?1时，求函数f?x?在x?e?1处的切线方程； （2）当
2?a?2时，讨论函数f?x?的单调性； 3x1?1?（3）若x?0，求函数g?x???1????1?x?x的最大值.
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