概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第七章

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第七章 假设检验

7.1 假设检验的基本概念

习题1

样本容量n确定后，在一个假设检验中，给定显著水平为α，设此第二类错误的概率为β，则必有().

(A)α+β=1; (B)α+β>1; (C)α+β<1; (D)α+β<2.

解答： 应选(D).

当样本容量n确定后，α,β不能同时都很小，即α变小时，β变大；而β变小时，α变大. 理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但α,β的大小关系不能确定，并且这两类错误不能同时发生，即α=1且β=1不会发生，故选(D). 习题2

设总体X～N(μ,σ2), 其中σ2已知，若要检验μ, 需用统计量U=Xˉ-μ0σ/n.

(1)若对单边检验，统计假设为

H0:μ=μ0(μ0已知), H1:μ>μ0, 则拒绝区间为 ；

(2)若单边假设为H0:μ=μ0,H1:μ<μ0, 则拒绝区间为 (给定显著

性水平为α, 样本均值为Xˉ, 样本容量为n, 且可记u1-α为标准正态分布的(1-α)分位数). 解答：

应填(1)U>u1-α; (2)U

如何理解假设检验所作出的“拒绝原假设H0”和“接受原假设H0”的判断？ 解答：

拒绝H0是有说服力的，接受H0是没有充分说服力的. 因为假设检验的方法是概率性质的反证法，作为反证法就是必然要“推出矛盾”，才能得出“拒绝H0”的结论，这是有说服力的，如果“推不出矛盾”，这时只能说“目前还找不到拒绝H0的充分理由”，因此“不拒绝H0”或“接受H0”，这并没有肯定H0一定成立. 由于样本观察值是随机的，因此拒绝H0，不意味着H0是假的，接受H0也不意味着H0是真的，都存在着错误决策的可能.

当原假设H0为真，而作出了拒绝H0的判断，这类决策错误称为第一类错误，又叫弃真错误，显然犯这类错误的概率为前述的小概率α:α=P(拒绝H0|H0为真); 而原假设H0不真，却作出接受H0的判断，称这类错误为第二类错误，又称取伪错误，它发生的概率β为β=P(接受H0|H0不真). 习题4

犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间有何关系？ 解答：

一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往会增大.要它们同时减少,只有增加样本容量n. 在实际问题中,总是控制犯第一类错误的概率α而使犯第二类错误的概率尽可能小.α的大小视具体实际问题而定，通常取α=0.05,0.005等值. 习题5

在假设检验中，如何理解指定的显著水平α? 解答：

我们希望所作的检验犯两类错误的概率尽可能都小，但实际上这是不可能的. 当样本容量n固定时，一般地，减少犯其中一个错误的概率就会增加犯另一个错误的概率. 因此，通常的作法是只要求犯第一类错误的概率不大于指定的显著水平α, 因而根据小概率原理，最终结论为拒绝H0较为可靠，而最终判断力接受H0则不大可靠，其原因是不知道犯第二类错误的概率β究竟有多少，且α小，β就大，所以通常用“H0相容”，“不拒绝H0”等词语来代替“接受H0”，而“不拒绝H0”还包含有再进一步作抽样检验的意思. 习题6

在假设检验中，如何确定原假设H0和备择假设H1? 解答：

在实际中，通常把那些需要着重考虑的假设视为原假设H0，而与之对应的假设视为备择假设H1.

(1)如果问题是要决定新方案是否比原方案好，往往将原方案取假设，而将新方案取为备择假设； (2)若提出一个假设，检验的目的仅仅是为了判断这个假设是否成立，这时直接取此假设为原假设H0即可.

习题7

假设检验的基本步骤有哪些? 解答：

根据反证法的思想和小概率原理，可将假设检验的步骤归纳如下:

(1)根据问题的要求，提出原理假设H0和备择假设H1.

(2)根据检验对象，构造检验统计量T(X1,X2,?,Xn), 使当H0为真时,T有确定的分布. (3)由给定的显著水平α, 查统计量T所服从的分布表，定出临界值λ, 使

P(∣T∣>λ)=α, 或 P(T>λ1)=P(T<λ2)=α/2, 从而求出H0的拒绝域:∣T∣>λ或T>λ1,T<λ2.

(4)由样本观察值计算统计量T的观察值t.

(5)作出判断，将t的值与临界值比较大小作出结论:

当t∈拒绝域量时，则拒绝H0，否则，不拒绝H0，即认为在显著水平α下，H0与实际情况差异不显著. 习题8

假设检验与区间估计有何异同? 解答：

假设检验与区间估计的提法虽不同，但解决问题的途径是相通的. 参数θ的置信水平为1-α的置信区间对应于双边假设检验在显著性水平α下的接受域；参数θ的置信水平为1-α的单侧置信区对应于单边假设检验在显著性水平α下的接受域.

在总体的分布已知的条件下，假设检验与区间估计是从不同的角度回答同一个问题. 假设检验是判别原假设H0是否成立，而区间估计解决的是“多少”(或范围), 前者是定性的，后者是定量的. 习题9

某天开工时，需检验自动包装工作是否正常. 根据以往的经验，其装包的质量在正常情况下服从正态分布

N(100,1.52)(单位:kg). 现抽测了9包，其质量为:

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5.

问这天包装机工作是否正常？将这一问题化为假设检验问题. 写出假设检验的步骤(α=0.05). 解答：

(1)提出假设检验问题H0:μ=100, H1:μ≠100;

(2)选取检验统计量U:U=Xˉ-1001.59, H0成立时, U～N(0,1); (3)α=0.05,uα/2=1.96, 拒绝域W={∣u∣>1.96};

(4)xˉ≈99.97,∣u∣=0.06. 因∣u∣

习题10

设总体X～N(μ,1),X1,X2,?,Xn是取自X的样本. 对于假设检验

H0:μ=0,H1:μ≠0, 取显著水平α, 拒绝域为W={∣u∣>uα/2}, 其中u=nXˉ, 求:

(1)当H0成立时, 犯第一类错误的概率α0;

(2)当H0不成立时(若μ≠0), 犯第二类错误的概率β.

解答：

(1)X～N(μ,1),Xˉ～N(μ,1/n), 故nXˉ=u～N(0,1). α0=P{∣u∣>uα/2∣μ=0}=1-P{-uα/2≤u≤uα/2}

=1-[Φ(uα/2)-Φ(-uα/2)]=1-[(1-α2)-α2]=α, 即犯第一类错误的概率是显著水平α.

(2)当H0不成立，即μ≠0时，犯第二类错误的概率为

β=P{∣u∣≤uα/2∣E(X)=μ} =P{-uα/2≤u≤uα/2∣E(X)=μ} =P{-uα/2≤nXˉ≤uα/2∣E(X)=μ}

=P{-uα/2-nμ≤n(Xˉ-μ)≤uα/2-nμ∣E(X)=μ} =Φ(uα/2-nμ)-Φ(-uα/2-nμ).

注1当μ→+∞或μ→-∞时，β→0. 由此可见，当实际均值μ偏离原假设较大时，犯第二类错误的概率很小，检验效果较好.

注2当μ≠0但接近于0时，β≈1-α. 因α很小，故犯第二类错误的概率很大，检验效果较差.

7.2 单正态总体的假设检验

习题1

已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082). 现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为

4.484. 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55(α=0.05)?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

H0:μ=4.55, H1:μ≠4.55. 由于σ2=0.1082已知，所以可选取统计量

U=Xˉ-4.550.108/9, 在H0成立的条件下，U～N(0,1), 且此检验问题的拒绝域为

∣U∣=∣Xˉ-4.550.108/9∣>uα/2, 这里 u=4.484-4.550.108/9≈-1.833,uα/2=1.96. 显然 ∣u∣=1.833<1.96=uα/2. 说明U没有落在拒绝域中，从而接受H0, 即认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55. 习题2

要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时. 已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布，试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ,μ未知，即需检验假设H0:μ≥1000,H1:μ<1000. 解答：

检验假设H0:μ≥1000,H1:μ<1000.

这是单边假设检验问题. 由于方差σ2=0.05, 故用u检验法. 对于显著性水平α=0.05, 拒绝域为 W={Xˉ-1000σ/n<-uα. 查标准正态分布表，得u0.05=1.645. 又知n=25,xˉ=950, 故可计算出

xˉ-1000σ/n=950-1000100/25=-2.5. 因为-2.5<-1.645, 故在α=0.05下拒绝H0, 认为这批元件不合格. 习题3

打包机装糖入包，每包标准重为100kg. 每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准

(100kg). 某日开工后，测得9包糖重如下(单位：kg):

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 打包机装糖的包得服从正态分布，问该天打包机工作是否正常(α=0.05)? 解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

H0:μ=100,H1:μ≠100.

由于σ2未知，所以可选取统计量T=Xˉ-100S/n, 在H0成立的条件下，T～t(n-1), 且此检验问题的拒绝域为

∣T∣=∣Xˉ-100S/n∣>tα/2(n-1), 这里 t=xˉ-100s/n≈99.978-1001.2122/9≈-0.0544, t0.025(8)=2.306. 显然 ∣t∣=0.0544<2.306=t0.025(8), 即t未落在拒绝域中，从而接受H0, 即可以认为该天打包工作正常. 习题4

机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准含量为500g, 标准差不得超过10g. 某天开工后，随机抽取9袋，测得净重如下(单位：g):

497, 507, 510, 475, 515, 484, 488, 524, 491, 试在显著性水平α=0.05下检验假设：

H0:μ=500,H1:μ≠500. 解答：

xˉ=499,s≈16.031,n=9,

t=(xˉ-μ0)sn=499-50016.0319=-0.1871, α=0.05, t0.025(8)=2.306. 因∣t∣

从清凉饮料自动售货机，随机抽样36杯，其平均含量为219(mL), 标准差为14.2mL, 在α=0.05的显著性水平下，试检验假设：H0:μ=μ0=222,H1:μ<μ0=222. 解答：

设总体X～N(μ,σ2),X代表自动售货机售出的清凉饮料含量，检验假设

H0:μ=μ0=222(mL), H1:μ<222(mL). 由α=0.05,n=36, 查表得t0.05(36-1)=1.6896, 拒绝域为

W={t=xˉ-μ0s/n<-tα(n-1). 计算t值并判断：

t=219-22214.2/36≈-1.27>-1.6896, 习题6

某种导线的电阻服从正态分布N(μ,0.0052). 今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得

s=0.008Ω, 对于α=0.05, 能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?

解答：

本问题是在α=0.05下检验假设

H0:σ2=0.0052, H1:σ2≠0.0052. 选取统计量χ2=n-1σ2S2, 在H0成立的条件下，

χ2～χ2(n-1), 且此检验问题的拒绝域为

χ2>χα/22(n-1)或χ2<χ1-α/22(n-1). 这里 χ2=9-10.0052s2=80.0052×0.0082=20.48, χ0.9752(8)=2.18,χ0.0252(8)=17.5. 显然χ2落在拒绝域中，从而拒绝H0, 即不能认为这批导线电阻的标准差仍为0.005. 习题7

某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过16N2. 今从某日生产的铜丝中随机抽取容量为9的样本，测得其折断力如下(单位：N):

289, 286, 285, 286, 285, 284, 285, 286, 298, 292 设总体服从正态分布，问该日生产的铜线的折断力的方差是否符合标准(α=0.05)? 解答： 检验问题为

H0:σ2≤16, H1:σ2>16, n=9, s2≈20.3611, χ2=8×s216≈10.181, α=0.05, χ0.052(8)=15.507. 因χ2<χ0.052(8)=15.507, 故接受H0, 可认为铜丝的折断力的方差不超过16N2. 习题8