高中数学1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用讲义新人教A版选修2 - 3

由天下分享时间：2024/12/20 17:47:44 加入收藏我要投稿点赞

1．1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用

知识点

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问01分类问题，其中各种方法□02相互独立，用其题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是□03分步问题，各个步骤中的中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是□04互相依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．方法□

对较复杂的计数问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)分类就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”．( )

(2)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数有12个．( )

(3)分类时，各类之间是互相独立且排斥的，分步时各步之间是互相依存，互相联系的．( )

答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做

(1)一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有________种不同走法．

(2)如图从A→C有________种不同走法．

(3)一位顾客去买书，发现4本好书，决定至少买其中的2本，则这位顾客购书的方案共有________种．

答案 (1)16 (2)6 (3)11 解析 (1)4×4＝16种．

(2)分为两类，不过B有2种方法，过B有2×2＝4种方法，共有2＋4＝6种方法．

(3)分三类：购买2本有6种，购买3本有4种，购买4本有1种，共有6＋4＋1＝11种方案．

探究1 数字排列问题例1 用0,1,2,3,4五个数字，

(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？

(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

[解] (1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝5＝125个三位数字的电话号码．

(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100个三位数．

(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．

拓展提升

数字问题的解题策略

(1)对于组数问题，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．

(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则．

[跟踪训练1] 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1

解分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，凸数的个数为1×2＝2；

当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，凸数的个数为2×3＝6；同理可得：

当中间数为4时，凸数的个数为3×4＝12；当中间数为5时，凸数的个数为4×5＝20；当中间数为6时，凸数的个数为5×6＝30；当中间数为7时，凸数的个数为6×7＝42；当中间数为8时，凸数的个数为7×8＝56；当中间数为9时，凸数的个数为8×9＝72.

故所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240. 探究2 选取问题

例2 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

[解] (1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；

(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；